CHAPITRE VI. 3i

arbitraires, et les exposans inconnus, m, n,p, etc., ne seront assujettis qu’à la condition

(*)■•• (ire *4- i) («+0 (/> + 0 etc. = l.

Si les facteurs premiers du nombre cherché doivent être les plus petits possibles, ce nombre sera nécessairement de la forme 2"Xî*x5',X, etc.

* 1 86. 4' Problème. Déterminer un nombre entier N, qui soit égal à la somme de ses diviseurs (on fait abstraction du diviseur N ).

Un nombre premier ne saurait jouir de la propriété demandée , car la somme de ses diviseurs est égale à l’unité.

Nous allons chercher si a et G, désignant des nombres premiers , on peut avoir N = am X G.

La somme des diviseurs de amG (en exceptant ttmG) étant

il faut que

«tm x £ = (i + U -f- <*a -+-... -j- <tm) X 0 + G) — *"£; d’où fol Z + C1 + * + -h • • • 4- *m~‘)

' <tm — (I +* + et*-*-. .. 4-am-)'

Or , G doit être un nombre entier. Cette condition exige que le dénominateur soit l’unité; car autrement le reste de la division

du numérateur de G, par le dénominateur, serait

2(1 -f- a, -f- a4 -j- . . . + a""-1), et a étant positif, ce reste ne sç réduirait pas à zéro ; il faut donc que

Or , cette équation revient à

(ctm — J \

J = 1, ou à (cLm l) (et 2) — O.

Le nombre premier a. devant être plus grand que l’unité,

etm — i ne peut se réduire à zéro. Il faut donc que *— 2 = 0; d’où «t= 2.

Substituant la valeur 2 de a dans l’expression de C, le dénn- »

3i4 ALGÈBRE.

minuteur «m-— (i -}-« -f- **- f- . . . — et"* se réduira hécessairenient à l’unité ; on aura

"€= i -f- a + 2* 4- 23 + • • • 4- a**-1 + am,

N =C X nm = (t + 3 -f- 2a -f- a3 • • • + 2m) X a”*,.

et pourvu que les nombres a, S , soient premiers , cette valeur de N jouira de la propriété demandée.

Ainsi , pour trouver des nombres qui soient égaux à la somme de leurs diviseurs > il suffit de faire la somme des nombres l, 2, 2% 2f, etc. j jusqu'à ce quon obtienne une somme qui soit un nombre premier t et de multiplier cette somme par la dernière puissance de 2 à laquelle on. s’est arrêté ; le produit satisfait à la question.

On en déduit que les valeurs de N sont 6, 28, 496, etc.; ces nombres s’appellent des nombres parfaits.

* 187. 5* Phobique. Calculer toutes les solutions entières de V équation indéterminée x y = N, dans laquelle N désigne un nombre entier positif quelconque.

On décompose N en deux facteurs entiers de toutes les manières possibles (n° 184); ce qui fournit les diverses valeurs de x et y, qui satisfont à la question.

On parvient au môme résultat, en observant que l’équation

xy — K donnant y — ,

il suffit de prendre successivement pour x les diviseurs de N ; les quotiens de N par ces diviseurs expriment les valeurs correspondantes de y.

Exemple. Soit l’équation xy=i5.

Les diviseurs de i5 étant 1 , 3,5, i5, on en déduit qu’on ne saurait décomposer i5 en deux facteurs, que des quatre manières suivantes :

, Xi5, 3X5, (-i)X(- ’ i5), (-3)X(— 5).

6* Problème. Trouver toutes les solutions entières de l’équation indéterminée