CHAPITRE VI

(i)... xy + ox-f- by~c>

dans laquelle a, b, c , sont des nombres entiers, positifs ou négatifs.

ire Solution. On ramène l’équation (r) à la forme

N' désignant un nombrcentier. A cet effet, on pose (3)... x = x'+*, y = ÿ + G,

« et G sont des quantités arbitraires , dont on disposera de manière à ramener l’équation (1) à la forme (2) demandée. Substituant les valeurs (3) de x et y dans (1), il vient (4) • • • x'ÿ-\- (£ + («• + b)y'= c — («£ -f- a* -f- bG ) .

Pour faire disparaître les premières puissances de x' et y' , on pose

£ -f -a = o, » -J- b = o ; d’où G = — a, m ~ — b.

Substituant ces valeurs de G et cl, et représentant le nombre entier c-j-(zb par N', l’équation (4) prend la forme (2) demandée, et les relations (3) deviennent

(5) x — x'—b, y=xÿ—a.

On cherchera toutes les valeurs entières de x' et y', qui sa tisfont à l’équation (2); les valeurs correspondantes de x et y, qui fournissent les solutions entières de l’équation (1), se déduiront des relations (5).

Soit <1 un diviseur quelconque de N'j le quotient de N' par S ' sera un nombre entier , et on obtiendra une solution entière de x' y =N' , en prenant x' ~ y = ¥■, les valeurs correspondantes de x , y , déduites de (5) , qui satisfont à l’équation (i) proposée , sont x = ê~ — b, y = Ÿ — a.

2* Solution. On résout l’équation (1) par rapport à y, ce qui

, —ax + c

donne y— --r.

Divisant — ax 4* c par x -+• b , on trouve le quotient entier — a et le reste c-J-aù; de sorte qu’en faisant (comme dans la irc solution), e-f-aù = N', on a

ALGEBRE.

Pour que y soit entier, il suffit et il faut que x-f -b soit un diviseur /'de N’ ; le quotient de N* par / est un nombre entier et l’on a

x,-f-i=/, y = — d’où x— / — b, y^= /’ — a. Ce qui s’accorde avec la in solution.

Exemple. Soit l’équation xy -f- 2x -f- 3y = g.

En la comparant à xy -\-ax -f- by = c,

on a a = 2,i = 3,c = 9j d*où

Les diviseurs de 1 5 étant ±: i , rh 3, ±5, ± i5, on donne à / les valeurs

+ >» + 3, + 5, -f- i5, — i, — 3, — 5, — i5, les valeurs correspondantes de /' sont +i5, + 5, + 3, + i, — 15, — 5,-3, — i; et celles de x, y, déduites de x=/ — 3, y = f' — 2, sont

188. Quand les deux termes d’une fraction — n’ont pas de facteur commun j cette fraction est irréductible ; car autrement il existerait une fraction -, qui lui serait égale, et dont

les termes a , b seraient respectivement moindres que A et B; on aurait

1 = 1 d’oil “4=:b.

Or, b est un nombre entier; aB serait donc divisible par A ; mais A et B sont premiers entre eux , A diviserait donc a (n° >79) > 0e 9U* e9* absurde, puisque a est moindre que A.