CHAPITRE VI

Par conséquent , tou/e fraction réductible à une forme plus simple j admet un plus grand commun diviseur entre ses deux termes.

18g. Lorsqu’ une fraction — est égale à une fraction irréduc-

tible — j les deux termes de la première sont respectivement

égaux à ceux de la seconde , multipliés par un même nombre.

b b Al.

En effet : l’égalité — = - , donne — = B.

Le produit b A doit donc être divisible par a. Or, a est premier avec b \ il faut donc que a divise A ( n° 179). Désignant par a le quotient de A par a , on aura A — na\ et on en déduira B = nb. Ce qui démontre la propriété énoncée.

190. Quand deux fractions irréductibles sont égales entre elleSj leurs numérateurs sont égaux , ainsi que leurs dénominateurs; car , autrement , une fraction irréductible serait égale à une fraction qui aurait des termes moindres*, ce qui est absurde.

191. Les seules opérations qui n’altèrent pas la valeur d’une fraction j sont celles qui produisent le même effet que la multiplication et la division des deux termes de cette fraction pat un même nombre.

En effet*, supposons qu’après avoir effectué des opérations

quelconques sur une fraction —, on parvienne à une fraction

équivalente —, *, ces deux fractions seront nécessairement égales à une même fraction irréductible ^ (n° 190). On aura

B = bn, A = a;i, B '=xabn', A'=>an' (n° 189) ; • d’où

B bn b bff £

A an~~ a an A' ’

De sorte que pour déduire de la fraction —,1a fraction équr-

valente — , , i! suffit de diviser d’abord B et A par leur plus

grand commun diviseur n , et de multiplier ensuite les deux.

termes de la fractiqn irréductible - qui en résulte, par le. plus

grand commun diviseur n de B' et A'. Ce qui démontre la pro* priété énoncée.

b . . bm

192. Lorsque la fraction — est irréductible , la fraction — -

est également irréductible ; car autrement, bm et a" seraient divisibles par un même nombre premier»; m diviserait donc b

et a (n° 180) ; la fraction ^ ne serait donc pas irréductible ;

ce qui est contre l’hypothèse.

Toutes les puissances d’une fraction irréductible sont donc des fractions irréductibles.

* ig3. Lorsqu’on ajoute entre elles plusieurs fractions irréductibles dont les dénominateurs sont premiers entre eux , la somme est une fraction irréductible. En effet, soient

“ ÎL, “ des fractions de cette espèce; leur somme sera b b b

ab'b" + a'bb" + a"bb’

1 Wb" '

Si cette somme n’était pas une fraction irréductible , ses deux termes seraient divisibles par un même nombre premier é , qui diviserait l’un des facteurs b, b’, b", du dénominateur, le facteur b par exemple ; «T diviserait donc

( a'bb " -f- a'bb') et ab'b" -f- {a'bb1 -f- a bb') ;

é diviserait donc ab'b ‘ (n° 178,2°); ce qui est impossible; puisque i' est premier avec chacun des nombres a , b', b".