CHAPITRE VI

3ig

§ II. Des differens systèmes de numération. Pivpiiétés des nombres dans ces divers systèmes. Des quotiens périodiques. Problèmes.

ig4- Dans tout système de numération, le nombre b des chiffres est ce qù’on nomme la base du système ; il y a b — i chiffres significatifs qui expriment les b — i premiers nombres I, 2, 3, 4,..., b — i ; le chiffre auxiliaire o, nommé géroj n’a aucune valeur par lui-même, il sert à conserver aux chiffres significatifs la place qu’ils doivent occuper.

Pour écrire tous les nombres avec ces b chiffres , il suffit de convenir qu’en avançant successivement d’un rang vers la gauche d’un nombre , ses chiffres expriment des unités de b en b fois plus grandes.

Ainsi, le Ier chiffre d’un nombre à partir de la droite exprime des unités simples ou du i*r ordre , le 2e chiffre exprime des unités du 2® ordre , le 3e des unités du 3* ordre ; etc. Chaque unité du Ier ordre vaut i , chaque unité du 2e ordre vaut b, chaque unité du 3' ordre vaut bxb ou b *•, et en général, chaque unité du niim* ordre vaut bn~' .

Les nombres b, b3, etc., sont représentés par (i o)t, (ioo)j, (iooo)}, etc. (*). En général, l’unité suivie de « zéro ■vers la droite représente le nombre è“.

Les nombres i, 2, 3,..., b — i, sont exprimés par un seul chiffre; ajoutant l’unité à b — i , on forme le nombre b, qui est représenté par (,0)s- Mettant successivement tous les chiffres à la première et à la seconde place, on obtient les nombres b, b -f- i , b-\- 2, . . . , 45— i. Ajoutant i à — i, on parvient au plus petit nombre è’ de trois chiffres qui est représenté par (ioo)i. Pour écrire tous les nombres •+• i , . . . , b3 — i , il suffit de mettre successivement tous les chiffres à la ire place, à la 2e et à la 3e. Et ainsi de suite.

(*) Pour indiquer qu’un nombre est écrit dans le système dont la base rai b, nous le placerons entre parenthèses, et nous mettrons b à dioite <!e'la pa* rentbèse et un peu au-dessous.

320 ALGÈBRÊ.

Le plus petit nombre de n chiffres est l’unité suivie de n— f zéro; sa valeur est bm~‘.

Le plus grand nombre de n chiffres vaut ba — i ; car bn exprimant l’unité suivie de n zéro , si l’on en retranche i , le reste sera nécessairement composé de n chiffres égaux a b — - i .

ig5. Quand un nombre est écrit dans la base b , c est-à-df^s , dans le système dont la base est b , pour l écrire dans le systet^p décimal, on multiplie le I* chiffre à droite par I , le 2* par b, le 3* par b'} et ainsi de suite , jusqu’au chiffre des plus hautes unités ; la somme de ces produits est le nombre demandé •

Ainsi, (a,j5)g = 5 -4* 7 X 8 -J- 2 X 8*= 189.

Lorsqu1 un nombre est écrit dans le système décimal , pour t'écrire dans la basai», on le divise par b; le reste est le Ier chiffre à droite du nombre demandé , et le quotient exprime des unités du 2* ordre j divisant ce quotient par b , le reste est le 2* chiffre du nombre cherché , et le quotient représente des unités du 3* ordre. Continuant ce calcul, on parvient à un quotient moindre que b , qui est le dernier chiffre du nombre demandé. Cela résulte de ce que b unités d’un ordre quelconque, valent une unité de l’ordre immédiatement supérieur.

Ainsi, pour écrire 189 dans la base 8 , on divise 189 par 8; ce qui donne le reste 5 et le quotient 23; divisant 23 par 8, le reste est 7 et le quotient est 2 ; les chiffres du nombre demandé sont 2 , 7 et 5; ce nombre est donc exprimé par (js,]S)s.

Quand un nombre est écrit dans un système , pour l'écrire dans tout autre système , on exprime d'abord le nombre dans le système décimal, et on écrit ensuite ce nombre décimal dans le nouveau système.

Par exemple , pour écrire le nombre (67), j dans la base 1 1 , On traduit d’abord ce nombre dans le système décimal, ce qui donne

11 ne s’agit plus que d’écrire 85dans la base 1 1 ; à cet effet , on divise 85 par 1 1 , ce qui fournit le quotient 7 et le reste 8. Le résultat demandé est donc (78),,. Ainsi , (67), 3= 85 =(78),, «