CHAPITRE I

sont censés affectés du signe -f-, et sont par conséquent positifs.

Des termes sont dits semblables, lorsqu’ils sont les mêmes, abstraction faite des signes -j- , — et des coefficiens numériques.

Ainsi + 6 a*b3 et — 5a'b3 sont des termes semblables.

Le nombre des facteurs algébriques qui entrent dans un produit , mesure le degré ou la dimension du produit ; les coefficiens numériques ne comptent pas dans l’estimation de ce degré.

Quand tous les termes d’un polynôme sont du même degré, on dit que ce polynôme est homogène.

Ainsi , at -f- 5 -f- 3 abcd est un trinôme homogène du quatrième degré.

On est convenu de classer les grandeurs des quantités algébriques, d’après les grandeurs des exposons d’une même lettre , prise arbitrairement.

Ainsi , b3 est plus grand que A* ; mais il ne s’agit pas des valeurs numériques; car selon que la quantité représentée par b est plus grande ou plus petite que Punité , la valeur numérique de b3 est plus grande ou plus petite que celle de b”.

Par exemple,

Z> = 4> donne = 4 X 4 X 4= ^4 > èa = 4x4=,6» b^b' . ô=7, donne b3=7X 7X7=^, i!=7x7=-?; i3<6*.

Quand les termes d’un polynôme sont disposés suivant l’ordre indiqué par les grandeurs des exposans d’une lettre, on dit que ce polynôme est ordonné par rapport à cette lettre.

Ainsi , le polynôme a5b — 5 -j- ib3o? est ordonné suivant les puissances décroissantes de a, et suivant les puissances croissantes de b.

Lorsqu’on dira qu’un polynôme est plus grand qu’un autre, il faudra toujours sous-entendre que ces polynômes étant ordonnés par rapport à une même lettre, le plus fort exposant de cette lettre est plus grand dans le premier polynôme que dans le second. Sous ce point de vue, a3 -f- 2a •+• 1 est plus grand que aa -f- 89a -f- 2.

5 II. Des quatre opérations algébriques.

4- Lorsqu’on vent faire l'addition , la soustraction , la multiplication ou la division de plusieurs polynômes, on se propose de parvenir à un polynôme unique qtii soit tel, que si l’on assigne des valeurs numériques partictdières aux lettres contenues dans les polynômes proposés et dans le polynôme cherché, ce dernier prenne la valeur numérique qu’on obtiendrait si l’on opérait directement sur les nombres auxquels se réduisent les polynômes donnés.

5. Le polynôme qui résulte de l’une quelconque de ces quatre opérations, étant souvent susceptible d’être réduit à un plus petit nombre de termes, nous commencerons par faire connaître comment on peut réduire un polynôme à sa plus simple expression.

Il est d’abord facile de voir que les quantités b + 3 + 5, b — 3 — 5, 6 -f-5 — 3, b — 5 + 3,

se réduisent respectivement à

En effet :

b -4- 3 4* 5 , exprime qu’aprfcs avoir ajouté 3 à b , on doit ajouter 5 à la somme ; ces deux opérations reviennent à ajouter 3 4* 5 ou 8 i b.

L’expression b — 3 — 5, indique qu’il faut d’abord soustraire 3 de b , et ôter ensuite 5 du reste ; ce qui revient à ôter 3 + 5 ou 8 de b.

Pour évaluer b 4- 5 — 3, on doit ajouter Sa b, et retrancher ensuite 3 de la somme; ces deux opérations se réduisent b ajouter 5 — - 3 ou a à b.

Enfin, b — 5 4- 3 , indique qu’on doit ôter 5 de b et ajouter 3 au reste; ce qui se réduit à ôter de b, le nombre 2 qui est la différence entre 5 et 3.

Ces résultats étant indépendans de la valeur de b , on peut faire i = o; ce qui donne