CHAPITRE VI. 3ai

196. I*r Problème. Connaissant Us chiffres d’un nombre écrit dans deux systèmes diffèrens , trouver la valeur N de ce nombre j et les bases x, y , des systèmes .

■ Si les chiffres du nombre N écrit dans le premier système étant «, C , y, etc., ceux du meme nombre écrit dans le second système sont A, B, C, etc. , on aura'

N = « + ffx+y.r'‘-f-etc., N = A + % -4- Çy* -f «te.

Ces équations exprimant' toutes les conditions du problème, l’une des inconnues, x, y , N , est arbitrairè. Il faut seulement observer que chacune des bases x, y, doit être un nombre entier positif plus grand que le plus grand 'des chiffres du nombre écrit dans ce système.

Les valeurs de x et y , dépendent de l’équation

a -f- Qx -f- yx* -f- etc. = A -f- By -f- Cy* -f» etc.

Exemple. Soit N = (78)* = (67),, . On aura

N=»8-f-7x, 'N-j~l-6y; d’où 8 + jx = 7 -f- 6y. “

Les solutions entières de cette dernière équation seront fournies par les formules •

■x —6e — i , y== je-r-i, (n° 70),

en donnant à e des valeurs entières arbitraires. Mais comme les bases x , y, doivent être des nombres entiers positifs respectivement plus grands que 8 et 7, on ne doit prendre que les valeurs entières dç e qüi satisfont aux inégalités

6e— i>8, 7e— * > 7 ; d’où *>« + -, «>i+-.

On peut donc donner à e les valeurs a, 3 , 4 > 5, etc.

Soit e=a; on trouve æ=ii, y = i3, N=85; et en effet

ALGEBRE.

a' Phoblèmb. Connaissant la valeur a d’uu nombre et ses chiffres J a J a, , a%J a3lI. . : . an , déterminer la^base x du système dans lequel ce nombre est écrit. ,

L’inconnue x dépend de l’équation

a + a\x ■+■ a%x‘ + asx3 + . . . 4* an*u — *•

Remahqde. Celle équation ne peut jamais admettre plus d’une valeur réelle positive de x ; car Selon quevr augmente’ ou diminue , le premier membre augmente ou diminue en même La base x devant être plus" grande que chacun des" a. chiffres qui entrent dans le système, on ne saurait admet tre ponr x qu’un nombre entier positif plus grand que le plus grand des chiffres donnes, fl, n,, aM1 03, ■ . • aM. . *.

Exemple. Soit (276), — 189.- On a