CHAPITRE VI

posé. Pqur obtenir celte seconde expression , il suffit de placer la virgule à droite de la première période, ce qui revient à multiplier le quotient donné par b?\ il en résulte

rXi, = P,PPPP etc.

Retranohant la première égalité de la seconde, la partie périodique disparaît , et l’on trouve

ïXl'-i = P; d’oii (!)••• x=' br j-

Or, bf— 1 est, un nombre composé de p chiffres égaux a b— 1 ; par conséquent, la.formule (1) nous ap prend -que tout quotient périodique moindre que l’unité j dont la période commence au premier chiffre à droite de la virgule j est égal à une fraction ordinaire , quia pour numérateur la période j et pour dénominateur un nombre composé d? autant de chiffres égaux a b 1 j qu il y a de chiffres dans, la période. Ainsi,

' (o, 1 3i 3 1 3 etc.)5 ?= Q|) s = ^ = 5 = Qs-

/oi3\ 8 2 Y » \

(0,01301301.3 etc.)*

Lorsque P = b — i , ,on a p ~ i , ** — ^ ~ — *•

■ Ainsi , (0,7777 été. )s = -= >•

Remarqub. L’expression o,PPP etc., de x pouvant se décomposer en ,

il en résulte que x est égal .à la somme des termes d une progression géométrique décroissante prolongée à l’inGni, dans la-

quelle, le premier terme est a= et la raison est q =‘^r*On

a vu (page 278) que la somme des termes de cette progression est

ALGEBRE.

- — — , substituant les valeurs de a et q, pn parvient à la formule (i).

a°. Soit un quotient périodique mixte quelconque

E,NPPPP etc. (*). Si l’on désigne par a: sa valeur, par n le nombre des chiffres de là partie non périodique N placée entre la virgule et la première période, et par p le nombre des chiffres de la période P , on aura

x — E,NPPPP etc.

Pour en déduire deux expressions qui renferment la même partie périodique P , on transporte successivement la virgule à droite et à gauche de la première- période; ce qui donne

ENP.PPP etc., et EN.PPP etc.

Or , en avançait ainsi la virgule de n ■+■ p et de n rangs à droite, on multiplie x par fi”+f’ et par fi" (n° 197); donc

x X fi"+f = ENP,PPP etc., et ixi"= EN ,PPP etc. Retranchant la seconde équation de la première, il vient

xxbn^—x-Xbm= ENP— EN; d’où (a)... x

ENP— EN (fif — i)bK'

Or, bf — 1 est un nçmbre composé de p chiffres égaux à b — 1 , et on multiplie ce nombre par ô* en plaçant n zéro à sa droite. La formule (2) conduit donc à cette règle générale :

Pour convertir un quotient périodique mixte en fraction ordinairej transportez successivement la virgule à droite et à gauche de la première période ; la différence entre les parties entières des deux nombres qui en résultent exprime le numéra-

(*) Lorsque x = <),3^ 687 587 587 été., on a

E=9, N=34,.n = », P = 587, p— 3, ENP, PP etc. := 934587,587 etf. , ENP = §34587 , EN, PP etc. = 935,387 etc., EN = g3ij. D’où

ENP, P etc. — EN, PP etc. = ENP - EN = 934587 - 934.