EP-E

Ainsi,

ALGEBRE.

ao5. ,On peut toujours reconnaître d'avance si la division

du numérateur d’une fraction — par son dénominateur j effec—

tuée d’après la règle du n° 2o3> conduira à un quotient exact o'u périodique. En effet : .

i“. Quand le dénominateur est V unité suivie de plusieurs zéro j la règle du u° 202 fournit immédiatement la valeur exacte du quotient. ., .

2°. Lorsque le dénominateur n’étant pas l’unité suivie de plusieurs zéro ^ ne contient que les facteurs premiers de la base b du système de numération j la divisiorp du numérateur B par le dénominateur A , effectuée d après la\ègle du n° 2o3 j conduit toujours à un qiw'tîent exact.

' Cela’ revient à démontrer qu’on peut toujours déterminer un

nombre entier e tel que p- soit de la forme p , M et c désignant des nombres entiers positifs.

Pour trouver e, nous décomposerons A et A en leurs facteurs premiers, et afin de simplifier, nous supposerons, que la base b ne renferme que deux iactqurs premiers/), q, (les raisonnemens seraient les mêmes si le nombre des facteurs était différent). De sorte que

i = A—pmq*.

Or, quelle que soit l’indéterminée x, on a

B ^Bb* __ Bp^q'* B p** ~ m X q1

.Sx-

Ab

PS

D’ailleurs, il existe une infinité de valeurs entières positives dex qui rendent «x — m et Cx — n positifs} car ces binômes pouvant se mettre sous la forme a ^ , S ^x — ^ , on

voit que toqtè valeur entière positive de x plus grande que chacunp des quantités — , jouit delà propriété demandée. Lé principe est donc démontré.