CHAPITRE VI

Remarque. Lorsque la fraction j- est. induite à sa plus simple

expression ; si i' désigne la plus petite des valeurs entières positives de x qui rendent clx — m et Cx — n positifs, le quotient de B par A contiendra / chiffres à droite de, la virgule.

En, effet; soit X= l’expression dp ^.deviendra

R i Bp*f~m X q ct~n

A“~~ bt . •

Le numérateur Bp“* m X q^~~n , sera 'un nombre entier . B M

positif M, et les fractions —, — étant égales, le quotient de B • A à»

par A sera le même que celui de M par b*. Or, ce dernier quotient contiendra /chiffres à droite de la virgule, à moins que M ne soit divisible par b , et cela n’est pas possible, car d’après l’hypothèse, toutes les' valeurs entières positives de x moindres que /'rendant «x—m on Cx — n négatif, l’un des nombres «(/ — i) — m, £(/— j) — n, est négatif; on a donc*/ —

OU C/ — n <2 C; comparant la valeur m X q^^~n cléM,

à la valeur de b, on voit qu’un des facteurs p ,q , est contenu moins de fois dans.M qup dans b ; M n’est donc pas divisible par h; ce qui démontre le principe énoncé.

Exemple. Soit

On a A= (i6),,= r8 = aX3*, b = a*x3,

B 5 xb* 5X2“-*X3*-*

A ïX3’x4* a X 3* X A* b1

La plus petite valeur entière positive de x qui retld 2X — i et x — a positifs, étant 2, le quotient de B- par A renfermera deux chiffres à droite de la virgule; et en effet, l’hypothèse x = 2 donne * ,

La division de (5),, par effectuée d’après la règle

du n® 20371 fournit le quotient exact’ (6,34)>s.

• 3®. Quand le dénominateur A d’une fraction irréductible

Y contient d’autres facteurs premiers que ceux de la base b la

division de B par A conduit à un quotierit qui se prolonge indéfiniment et qui est 'périodique ( simple ou mixte'). Eh effet; si la division de B par A donnait un quotient exact de n chiffres, . - . JJ

ce quotient serait égal à une fraction ordinaire ^ (n°2oi). On aurait • t , • *