CHAPITRE VI

est périodique; il suffit donc de démontrer que la période commence au premier chiffre à droite de la virgule.

Si la période ne commençait pas au premier chiffre à droite de la virgule, on aurait

• •/ | S. E.NPPP etc. - /y ”4. *) *

d’o h ' Bçèr-P !)i»=Ax(ENP— EN).

Or, b divise le premier membre de cette égalité; b doit donc diviser le second membre; mais b est premier avec A; b doit donc diviser ENP — EN, (n° i^gO; ce qui exige que le premier chiffre à droite-de ENP— -'EN soit un zéro; le premier chiffre à droite de la partiç non périodique N doit donc être égal au premier chiffre à droite de la période P. Il est facile de voir que cela n’est pas possible ; car soient a, b , ; . . , d, e, les n chiffres de N, et .*, £, , J1, «, les p chiffres de la période P; si.Von

avait' « = t , le quotient périodique mixte

E sab...de *C. ..fa *£.../ 1 etc., deviendrait',

E ,ab.'..d imC. .-. f • •tan.. etc.

Lajpériode P deviendrait «*C. . . d, et le premier chiffre adroite de là partie ilon périodique devenaht d, cette partie non périodique ne contiendrait que n — i chiffres ; .ce qui est' contre l’hypothèse. Il est donc absurde de supposer que Ta période ne commence pas au premier chiffre h droite de la virgule.

5°. Lorsque .le dénominateur A d'une fraction irréductible B '■ 1

— renferme des facteurs premiers de la base b combinés çtuec

d'autres facteurs premiers j fa division de B par A conduit à un quotient périodique mixte. > *

On a prouvé {page 334 > 3°) que le quotient est périodique. Il suffit donc de démontrer que' la. période rie peut pas commencer au premier chiffre à droite de la virgule.

Si le quotient était périodique simple, il serait exprimé" par

uue fraction ordinaire de la forme ^ , dans laquelle M et

» représenteraient des nombres entiers (n® 204, 1°; et 2* Re~ marque j page 33 i). On aurait R M

f = r* ; d’oîi AM = Bx(4*- i).

Spit p un des facteurs premiers de A qui entre dans A; p divisant AM devrait diviser B X {A“ — i) ; or p ne saurait diviser B, puisque B et A sont supposés premiers entre euzj p devrait donc diviser b* — î (n° 179), mais p divise A*; p diviserait donc deux nombres entiers- consécutifs bn — 1 , A”; ce qui est absurde (n° 178,4°). Le principe est donc démontré.

Nous allons parvenir à la même propriété par d’autres considérations qui offriront eu outre l’avantage de faire connaître le nombre des chiffres qui se trouvent entre ta virgule et la première période . Soit b — p*q^ (*).

On pourra mettre A sou» la forme A — pmq* A',

A' étant un nombre entier qui ue renferme aucun des facteurs premiers/», q, dé A. On aura, quel que soit x ,

. B BA* Bp-V* B

À"** Ab*~ pmq*A/b* ^ ~ - A'A* ' -

Désignant par J la plus petite des valeurs entièresq>ositives de x qui rendent ex — m et Cx — n positifs , et faisant x— Jt le numérateur- Bp*x~m x q^~n sera- un nombre entier positif B' qui ne sera pas divisible par A , et on aura

B JT ■ •

Lé nombre A' ne contenant aucun des facteurs premiers p,q , de la base A, la division de par A' fournira un quotient périodique simple E,PPP etc. (page 334, 4®)< Or, pour en déduire

la valeur — de — -, il suffit de diviser E,PPP etc. par bf , ce

qui revient à avancer la virgule de J rangs à gauche dans

(*) On «upposc.que la base b ne renferme que deux facteurs premiers p, q. Les raisptincmcns seraient les mîmes pour tout autre nombre de facteurs.