^ o,BP BP BP etc. = Tê~-- A ' bt—i

Le produit BP ne pourra jamais avoir plus de p chiffres , car

(*) Si un nombre premier y pouvait diviser £ et bf — ! , les deux nombres entiers consecutifs bfx bf — i, admettraient un commun diviseur y; ce qui ■Vil pas possible (n° 178, 4®)*

ALGEBRE.

autrement la valeur p de — surpasserait l’unité, ce qui

JJ

est contre l’hypothèse1, la fraction — sera donc exprimée par

un quotient périodique simple dont la période BP sera composée de p chiffres. Ce qui démontre le principe énoncé.

Ainsi, = (o,i3i3 etc.)i, = (o,3i3i etc.)s.

* 207. Ier Problème. Déterminer par quel nombre entier il faut multiplier un nombre connu A premier avec la base b j pour que tous les chiffres du produit soient égaux à b — 1.

La division de l’unité par A fournira un quotient périodique simple dont la période P sera le nombre cherché; car la relation (1) , (page 337) , donne AxP = J,-i, et bp — 1 est composé de p chiffres égaux à b- — 1.

* 2 * Problème. La base d’un système de numération est un. gtfombre pair 2 b ; on connaît les produits deux à deux des nombres l j 2 j 3 j. . . j b ; il s’agit d’en déduire le produit de deux nombres entiers quelconques , », n'j compris entre b — 1 et tb .

. Pour y parvenir, .on retranche successivement n et n de 26; cela fournit deux restes r, r , qui ne peuvent surpasser b , et dont le produit rr est par conséquent coéiiu. On ôte successivement r et r de b ; ce qui détermine deux autres restes R, R'. Notis allons faire voir que le. produit nn cherché est composé de R+R' unités du second ordre, et de rXr unités du premier ordre. En effet, on a

2 b, — n — r, 2 b — n—r , R = b — r, R' =b — r . D’où

n — 2.b — r , n = ttb — r , nn = 26 ( 2& — r — r ) rr. Or,

R -f- R' = 26 — r — r ; donc nn s=: 2& ( R -f- R') -f- rr'.

Cette dernière égalité démontre la règle énoncée, car 2 b élant la hase, 26 (R -f- R' ) exprime R -f- R' unités du second ordre.