CHAPITRE VI

Remarque. Lorsque la base rb est égale à dix , on peut simplifier l’application de la règle générale, en faisant usage des dix doigts des mains, de la manière suivante :

On lève les dix doigts des deux mains > on retranche chaque »,

facteur de dix ; on abaisse ensuite autant de doigts dans chaque main qu'il y a d'unités dans chaque reste. La somme des doigts levés exprime les dixaines du produit demandé ; les unités de ce produit s'obtiennent en multipliant l’un par l’autre les nombres des doigts baissés dans chaque main.

* 3* Problème. Trouver un nombre entier x tel que si ton multiplie son quarré et son cube par un nombre entier connu m la différence mx3 — mx* des deux produits soit un quarré :

Apres avoir décomposé le nombre m en ses. facteurs premiers, on pourra le mettre sous la forme s'Xî| ff désignant un nombre entier dont tous les facteurs premiers sont élevés à la première puissance. La différence mx3 — mx’’ devenant m(x — >i)xa ou £ (x — i ) ct?xa, il suffit de déterminer x de manière que'

C(x — 1) devienne un quarré; ce qui exige que x — i = £; d’où x = S -J- 1 .

Cette valeur de x jouit de la propriété demandée, car elle réduit mx3 — mx‘ à «*£"(£+ i)a, qui est le quarré de «C(C+i) ,

Exemple. Soit 171 = 9000; on trouvera

771 = a3 X 3* x5’= (a.3.5)a x a.5 = 3oa x 10.

On aura

«=3o, 6=10, x= 1 1 , *C (C -f- ï) = 33oo.

Et en effet ,

1 13 X 9000 — 1 1* X 9000 = 10890000 = 33oo\

Remarque. Si la somme mx3 -J- mx" devait être un quarré, on trouverait

x = C — 1, mx3 -j- mx* = aa£a (£ — 1)*.

Exemple. Soit 777=9000; on aura

a = 3o, C=i o, x = g, mx3 -f- mx* = 2700*

§ III. Théorie du plus grand commun diviseur.

■208. Nous ne considérerons dans toute cette théorie que des quantités rationnelles et entières; c’est-à-dire des quântités.qui ue renfermeat pas de radicaux, ni de fractions, et dans lesquelles toutes les lettres sont affectées d’èx posons entiers positifs.

On dit qu’une quantité est première , lorsqu’elle n’est divisible par aucune quantité entière autre qu’elle-nième et l’unité. Ainsi, b, .ïi-f-i, e — b, sont des quantités premières; la quantité .a* — b* n’est pas première, car elle se décompose en deux facteurs premiers a-\-b, a — b

Des quantités entières sont dites premières entre elles , lorsqu’elles n’admettqnt aucun facteur commun. Ainsi, les quantités abc, def, sont premières entre elles; on dit aussi que abc est premier avec def.

• 20g. Le plus grand commun diviseur de plusieurs quantités

entières j est le produit de tous leurs facteurs premiers communsj numériques , monomes et polynômes.

210. Par conséquent : lorsque les facteurs premiers de plusieurs quantités sont en évidence 3 oh obtient directement leur plus grand commun diviseur en formant un produit dans lequel chacun de ces facteurs premiers entre autant de fois qu’il se trouve dans celle de ces quantités où il entre le plus petit nombre de foisj (4rith.j n° 5o, page fa).

' Ainsi, le plus .grand commun diviseur des monomes a6b*d*, a’b'c'd, est a’b* , et celui des trois quantités- (a i)«(c— d)\ ( a-bflp—d ), (a — b)* (c — d) (c-{- 1) , est ■ (a — bf><(c — d).

21-1. 11 est facile de trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs monomes , caron l’obtient en multipliant le plus grand commun diviseur des coefficiens numériques des monomes par le plus grand commun diviseur littéral de ces . mpnomes. On a vu en Arithmétique comment on détermine le plus grand commun diviseur numérique ; et le plus grand commun di-