CHAPITRE I. i

En général, si l’on supprimait tous les termes négatifs des quantités qu’il s’agit d’additionner, la somme serait formée des termes positifs écrits les uns à la suite des autres; et cette dernière somme serait évidemment trop grande de toutes les quantités négatives dont on a fait abstraction; on obtiendra donc la somme des quantités proposées en diminuant la somme des termes positifs, de la somme des termes qui sont précédés du signe — ; ce qui revient à écrire tous ces termes les uns à la suite des autres, avec leurs signes.

Lorsque les quantités qu’il s’agit d’additionner renferment des termes semblables > on facilite les réductions dont la somme est susceptible, en écrivant les termes semblables les uns sous les autres. En voici deux exemples:

1 oaéb — 1 2 a?bc

— i56ac* +

IO

— 4 a’b -J- 8a3 bc

— 3a*b — 3 a3bc

4 20Ôs(d —

•zaéb -f- 12 a3bc

4 5iV* -+

Somme 5 a — 66“

5 a‘b 4 5 a3bc

Dans la ir* addition , la somme des coefficieus de a est 3 4 rj J 4 — 9, ou 14 — 9 , ou 5 ; et celle des coefficiens de

est 5 + 4 — 2 — i3, ou 9— i5, ou — 6; la somme des quatre binômes proposés est donc 5a — 66*.

Dans la 2* addition , le coefficient de b2c <■ se réduit à zéro ; de sorte que b‘c t disparaît de la somme 5a* b + 5a3bc -f- 5.

Soustraction algébrique.

q. La soustraction algébrique a pour but, connaissant la somme de deux quantités et lJune d’elles j de trouver l’autre quantité nommée reste.

Par exemple , soit proposé d’ôter c — d de a — b. Si l’on ôtait c de a — b, le reste serait a — b — c; mais on ne devait soustraire que c — d ; on a donc ôté d de trop ; le reste a — ■ b — c est donc trop faible de d ; le reste cherché est donc a — b — c 4 d.

On verra de même que si l’on ôte 2a-\-3b°c — 7 de 8a — 5 b*c — 4» le reste sera

8a — 5 b'c — 4 — 2a — 3A*c + 7; il se réduit à 6a — 8ô’c + 3.

En général : Pour obtenir le reste d’une soustraction , il suffit d’écrire à la suite de la quantité dont on veut soustraire , tous les termes de la quantité à soustraire pris avec des signes contraires à ceux qu’ils ont , et d’ effectuer ensuite les réductions des termes semblables ( n° 5 ) ; le résultat est le reste demandé 3 réduit à sa plus simple expression.

En effet, soient A et B, deux quantités quelconques, monômes ou polynômes : lorsqu’on a ôté B de A , le reste R doit être tel , qu’ajouté à B , il donne une somme égale à A. Or, si l’on mettait à la suite de B, tous les termes de B, pris avec des signes contraires à ceux qu’ils ont, le résultat se réduirait à zéro, car tous ces termes seraient deux à deux égaux et de signes contraires ; la quantité R , qu’on doit ajouter à B pour obtenir A , est donc composée de A et de tous les termes de B pris avec des signes contraires à ceux qu’ils ont. Ce qui démontre la règle énoncée.

Pour faire dépendre la soustraction de l’ addition 3 et faciliter les réductions des termes semblables, on pose sous la quantité dont on soustrait, tous les termes de la quantité à soustraire prb avec des signes contraires à ceux qu’ils ont, eu ayant soin d’écrire les termes semblables les uns sous les autres la somme de ces deux polynômes, réduite à sa plus simple expression, exprime le reste demandé.

Ainsi , pour ôter 2a-+-3i*c — 7 de 8a — Sb'c — 4> on exécute le calcul de la manière suivante:

Sa — 5 b*c — 4 — 2a — 3 b°c + 7

Reste 6a — 8ô*c + 3.

8. La soustraction conduit aux quantités négatives. En effet , soit proposé d’ôter 7 de 5 ; cela revient à retrancher de 5 , les parties 5 et 2 du nombre 7- Mais quand on a ôté 5 de 5, le