CHAPITRE, VI. 3/Jg

Tous lfls coelliciens P', Q' , . . . , S', T', sont prcmiérs entre eux , ainsi que p, -cf , . . . , s', t' .

Il ne s" agit plus ‘que de- déterminer le plus grand commun diviseur X de A' et B ' j car le produit de X par T contenant tous les facteurs communs aux polynômes A, B, sera leur plus grand commun diviseur.

Or, les coefficiens P', Q',.-*, S', T', étant premiers entre eux, A' n’admet aucun facteur indépendant de x, et il en est de même de B'. Toute quantité indépendante de x sera donc première avec h! et avec B'. ‘ •»-

Pour obtenir le plus grand commun diviseur X de A' et B', on divise A' par B', et comme B' n’a aucun facteur indépendant de x , on n’altère pas le plus grand commun diviseur X, de A' et B', en multipliant ou en divisant chaque dividende partiel par des quantités indépendantes de x car ces quantités sont premières avec B'. Par conséquent, dans la division de A' par B', on pourra rendre possible la division du premier. terme de chaque dividende partiel par le premier terme p' xn du diviseur, en multipliant chaque dividende par le coefficient p' , ou en général par une quantité indépendante de x, telle que le produit soit divisible par p' \ «t on simplifiera les calculs en supprimant les facteurs indépendans de x qui pourront se trouver dans les restes, successifs (on obtient ces facteurs en cherchant le plus grand commun diviseur indépendant de x entre les coelliciens des diverses puissances de x dans chaque reste). On parviendra de cette manière à un reste R' moindre que B' et qui ne renfermera aucun facteur indépendant de x.

Le plus grand commun diviseur de A' et B' étant le même . que celui de B' et R', on opérera sur ces deux derniers polynômes, comme on a opéré sur A' et B'; ce qui conduira à un reste R" moindre que R' et qui ne' renfermera aucun facteur indépendapt de x. Le plus grand commun diviseur de R' et R" sera le même que celui de A et B. On divisera donc R’ par R", et en continuant ces calculs, on parviendra à un dernier reste R indépendant de x. /

ALGEBRE.

Lorsque R sera nul , le reste précédent exprimera le plus grand commun diviseur X de A' et B'.

Quand R ne sera pas nul , les polynômes A', B', n’auront pas de commun diviseur; car ils n’ont pas de commun diviseur indépendant de x; et s’ils avaient un facteur commun çn x , ce facteur diviserait le reste R et le reste précédent,. ce qui est impossible , puisque R ne contient pas x.

' 1er Exemple. Soient les deux polynômes

A=Cy— O^+C2^*— 3j+i)x*+(y— 3^“+ay)x— (y—

B=(y*— 0*‘ + (y3— i)x-f-Cy* — y).

Le plus grand commun diviseur des coefBciens

y— J, 2y“— 3y+l, y— 3y-Hy, y— y, est a=y—l,

et celui des coefiïciens

y— I. y-i, y — y, est £ —y — I .

Le plus grand commun divisçur de a et £ est Y=y — i . On divise A et B par y — i , ce qui s’exécute en divisant les coefficiens des diverses puissances de x par y — i , ( n* 27 ) ; on obtient des quotiens .

b! — 3? + {-iy.— i)x* 4- (y — ay)x— y,

®' = (y-f- (y +y+ Ox+y-

Tous les coefBciens de x dans A' sont premiers entre eux; il en est de même de ceux de x dans B'. De sorte que toute quantité indépendante de x est première avec B'.

Po'ur déterminer le plus grand commun diviseur X de A' et B’, on observe que le coefficient 1 du premier terme du dividende A' n’étant pas divisible par le coefficient y-f- 1 du premier terme du diviseur B', on peut rendre la division possible en. multipliant A' par y-f- 1; car y- f- 1 étant premier avec B', le plus grand commun diviseur de A'(y-|- 1) et B' est le même que celui de A' et B'. Mais comme il faudrait encore multiplier par y -f- 1 , pour obtenir le 2' terme du quotient, il est plus commode de multiplier A', par (y -f- 1)*; ce qui conduit à diviser A'(y-f- 1)*, ou

(y-f- 1 )“x3-f-(2y+3y8 — i)x* -f-(y* — 3y* — 2y)x — (y t-f-ay-f-y*)