CHAPITRE VI

Lorsque les deux facteurs A et B contiennent la lettre x, et que P ne la contient point.

Lorsqu’un seul des facteurs Aet B contient la lettre jr, et queP la co/itient aussi .

Enfin , lorsque les. deux facteurs A et B contiennent la lettre x, et que P là contient aussi .

Les démonstrations sont- semblables à ccjles qui viennent d’être exposées, et, pour celte raison, nous nous dispenserons dé les* rapporter. Lascule différence consiste en Ce que les quantilés qui, précédemment, étaient supposées numériques , 'peuvent être ici des quantités algébriques dépendantes dç la lettre j*-.

Dé même qtfe les cas oh les quantités .A, B, P, ne renferment pas plus d’une sente lettre, servent à démontrer la proposition pour les cas ois* ces quantités*^ u vent contenir deux lettres ; de même ceux ci serviront à s’élever aux cas où ces -quanti tés pourraient contenir trois lettres: et ainsi de suite, quel que soit le nombre des lettres.

Le théorème général doit donc être regardé oomme démontré.

* ■ THÉORÈME n.

Il n* existe qu’Un seul système dejacteurs premiers dont le produit soit égal h une quantité donnée ou , ce qui est la même xliose, deux produits de fdeteurs premiers ne peuvent être égaux que lorsqu'ils sonLcomposés de facteurs égaux chacun a -chacun .

Soient ABCD.V et abcd . . . les deux produits fc'gaui. Puisque abed. . . est divisible par a, le produit ABCD... doit l’être aussi ; mats a est une quantité première, ainsique A, B, C, D, etc.; donc (*si la quantité a nrest point égale à quelqu’un de ces facteurs., elle ne pourra diviser aucun d’eux. D’après le théorème précédent, la quantité a rie divisant ni A ni B, rië divisera pas le.produit AB;’ ne divisant ni AB ni C, elle ne divisera’pas ABC ; ainsi de suite : donc a ne pourrait point diviser le produit ABCD. . . Il faut donc que cette quantité soit égale h l’un des facteurs A, B, C, D, etc. : supposons-la égale à A, et divisons les deux produits par À, ies produits restant BCD. . . et bcd. . . seront encore égaux, et l’on pourra leur appliquer le raisonnement précédent. On conclura donc que la quantité b est égale k l’un des facteurs du produit BCD. . à B par exemple. On fera voir semblablement que la quantité c est égale h l’un des. facteurs du produit CD. . ., h C par exemple; et ainsi de suite. Donç les deux produite ABCD... et abcd . • . sont composés des mêmes' facteurs premiers.

Remarque. Çette démonstration ne suppose pas que les quantités A) B, C, D, etc., soient iuégales; de Sorte que si plusieurs facteurs du pTcrnier produit sont égaux entre eux, le second produit doit ies renfermer précisément en pareil nombre.

Les deqx thétfrèmes précédens démontrent qu’au polynôme entier n'est décomposable que d’une seule manière en ses facteurs premiers .

ALGEBRE.

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