CHAPITRE VII

Nous verrons par la suite comment on peut résoudre les équations dans lesquelles les inconnues entrent sous des radicaux-.

Lorsque dis quantités dépendent d'une rnanière quelconque d'autres quantités , on dit que Us premières sont fonction des secondes. • ■

Ainsi , dans l’équatiou y '= x* -J- z — i , la quantité y est fonction de i et de i. ' '

Pour indiquer que,?" est fonction de x , on écrit y = F(x).

Lorsque des fonctions sont composées d’une manière semblable., on l’indiqqe en conservant le même signe de fonction .

Par exemple, y(x) et f(z) représentent des fonctions composées absolument’ de la même manière , l’une en x, l’autre en z; c’est-à-dire quey(s)est ce que devient y (x) , quand on change x en z dansy(x).

Si y(x) = x* — 4X "4*7i .on aura

/(*)“*© — 4 (J) -f- 7 * /(*y) = (xyV — 4*y + 7 .

AT + K) = (x -f- A)* — 4 (* *+• + 7-

Si l’on donne à a; la valeur particulière zéro , f{x) se réduira à + 7 , c!est-à-dire qu’on aura y(o) =: + 7. .

Quand il est nécessaire de considérer des fonctions différentes, on les distingue les unes des autres par la forme de la lettre F. Ainsi, F(x), f{x) et ç> (x) j désignent des fonctions différentes de x..

On dit qu’une fonction est entière par rapport à une lettre,' lorsque tous les expbsans de cette lettre sont des nombres entiers positifs..

Nous supposerons que les polynômes que nous allons considérer sont des fonctions entières. Les polynômes de cette espèce ne deviennent jamais infinis pour des valeurs finies des lettres qù’ilsrenferment.

aao. Quand un polynôme xm-\-pxm~'-±-qx?'~*-^- . . . -\-sx-\-t, est réduit à zéro par f hypothèse x = », il est divisible par

ALGEBRE.

x — a. Lorsqu* x=zm ne réduit pas çe polynôme à zéro , il nest pas divisible par x — m.

Désignons ce polynôme par f(x) , et divisons-le par x — «; le diviseur étant du premier degré en x, on pourra toujours continuer les calculs jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste R indépendant de x, le quotient p(x) ne renfermant que des exposans entiers positifs de x; on aura • ' ,

Cette égalité étant vraie quel que soit Xj on peut y. faire x==«; le produit (x — «) X <P(x) se réduit à zéro, car x • — « devient, nul et p(x) ne peut devenir infini; d’ailleurs R ne change pas; donc ,

Cela posé : i°. Si l’hypothèse 'x = « réduit f (x) ■ à zéro, oo a /*(«) = o; la valeur f{a) du reste R étant nulle, x— « divise exactement f(x)- • r -

Par exemple, la valeur x = 3 réduisant x3 — 27X+54 à zéro , ce trinôme est divisible par x— 3; le quotient de cette division est x*-f- 3x — 18.

2°. Si x=<* ne réduit pas/"(x) à zéro, la valeur f(*) de R ne sera pas nulle ; f (x) ne sera donc pas divisible par x —

Par exemple, x=3 ne réduisant pas x3 — 27X+60 à zéro, ce trinôme n’est pas divisible par x — 3; et en efi’et, la division de' x* — 27X -f- 60 par x— 3 conduit au reste 6.

La réciproque se déduit aussi de l’identité, (i). En effet p lorsque /(x) est divisible par x — », le reste R doit être nul, la valeur f(m) de R ost donc nulle, l’hypothèse x=a réduit doncy (x) à zéro; et quand f (x) n’est pas divisible par'x — a, la valeur /”(<) de R ne devant pas être nulle, l’hypothèse x=« ne réduit pas f (x) à zéro.

• Bemabque. L’identité (2) démontre que pour obtenir le reste de la 'division d'un polynôme par x — *, il suffit de faire X — a. -dans àts polynôme.

Ainsi, on trouve le reste de la division de x3 — 27X + 60

par x — 3, én faisant x = 3 dans ce trinôme; Je résultat +6

est le reste demandé.

On peut en déduire le moyen de reconnaître dans quel cas xmdtam est divisible par x dr a. En effet; l’hypothèse x—a. réduisant xé* — a” à zéro et n’y réduisant pas xm -f- a'", il en résûlte que x—a divise x"1 — «m et ne divise pas x"-f-ccm. Lorsque m est Un nombre pair, x= — a réduit- xm — «m à zéro et n’y réduit pas xra -f- am ; par conséquent , x + a divise xm — um et ne divise pas xm -\-am. On verrait de même que m étant impair , x + a divise x™ -J-»"1 et ne divise pas xm — «m. Ce qui s’accorde avec les résultats obtenus dans le n° 29.

23i. Le principe du n° 220 peut s’énoncer de cette autre manière : Si «est une racine de l’équation

(1) . . . . xm -\-pxm~ 1 -\-qxm~*-\-. . . -f- rx*+sx + <= o,

le premier membre x"* -j- etc. sera exactement divisible par x — a; et si a n’est pas une racine de l’équation (1), X — a ne divisera pas le premier membre.

Nous allons donner une seconde démonstration de ce théorème important; et nous désignerons le premier membre de l’équation (1) par /(x).

i°. Quand « est racine de l’équation (i),ona

Pour introduire cette condition dans le polynôme /"(x)*, il suffit d’y remplacer t par sa valeur

tirée de la relation (2);^ce polynôme devient

x“ -f- px"-1 -f- ... -J- sx — («m -+- p*m— 1 + . » . -f- sa).

Réunissant les puissances semblables de x et de «, le polynôme/ (x) prend la forme ,

(3).. . (x"— <t”-)4.p(x"-1— .<»->) +r(x*— «*)+s(x— a), et on voit alors qu’il est divisible par x — a; car chacun des bi-

36a ALGÈBRE.

nomes xm — am,j x'"-1 — xs — «*,.x — et, est divi-

sible par x — «.

Pour trouver le quotient du polynôme

(4). • . xm ■+■ pxm~‘ -fr qxm~ ‘-f-. • .-h rxx +s* -f- t

par x— •«, on pourrait .effectuer directement la division de ce polynôme par x — et, le reste indépendant de x serait nul, car il serait exprimé par le premier membre de l’équation (a)'. Mais, lesquotiens des binômes xm — «m, xm~' — *m~ *, etc., par x— », étant connus (page 33) , il est plus simple d’effectuer ces divisions sur l’expression (3) du polynôme (4).

On trouve de cette manière que * étant une racine quelconque de l’équation (i), le quotient exact de la division du premier membre par x —« est "

jW-î

2°. Lorsque * n’est pas racine de l’équation (i), on peut mettre le premier membre sous* la forme

(xm — **"')-+ -p(xm~l — «m ')-|-...-}-s(x — u)-\-(um-j-pum

Chacun des binomes x" i— «m, x“~‘ — »m— . .,x — », étant divisible exactement par x — », on voit que la partie entière du quotient de ce polynôme par x — a est la même que (i°), et que le reste de la division est um+pum~' s» -J- t.

Or, a n’étant pas racine de l’équàtioh (a), ce reste n’est pas nul; le premier membre de Véquation (i) n’est donc pas divisible par x — «.

On démontrera d’une manière semblable , que lorsque le premier membre de i équation (l) est divisible par x — », la quantité « est racine de cette équation, et que lorsque x — u ne divise pas exactement le premier membre , • n’est pas racine .