CHAPITRE VII

222. Si toute équation à une seule inconnue a une racine (*),

F équation du mlimt degré aura m racines.

En effet; soif a, une racine de l’équatîon

(i). . . .fc”' -f-pxm'~‘ -4- yx’"-* + . • •'+ »x 4- f =o, .

le premier membre sera divisible par xi — a, ; le quotient sera un polynôme entier du degré m — i , et On aura

• xm + etc. = (r — a,) (xm— 1 -f- etc.).

L’équation xm~l -J- etc. = o ayant une racine a,, on voit de même que son premier membre est divisible par x — a,, de sorte que

ï"-1 -+- etc. = (x — o,) (xm a ■+■ etc.) ; d’où

x” + etc. ==. (x — a,) (x — a„) (x"*M‘.4- etc.).

Continuant ces décompositions, on parviendra à un dernier facteur x — am , et on aura

-xm etc. = (x — a,) (x — a») (x ag) . . . . (x — am).

Le premier membre de l'équation, (i) se trouvant ainsi décomposé en m facteurs premiers

OC '■ Q| | X ûi j OC - j « * » • ) OC @m j

on voit que cette équation a m racines a,, a», 03,. . . , flm; car chacune de ces m valeurs de x réduit à zéro un, des..?» facteurs de xm -\-pxm~ 1 +. . .+ sx + t, et les autres facteurs prennent des valeurs finies. .