Une équation 'du miime degré ne peut avoir plus de m

racines. En effet; soit l’équation : ‘ •

(1) — x” -f- pxm~‘ -f- qxm~* + . . . + rx“ H- sx -f- l == o.

(*) Les propriété» qui seront fondées snr la décomposition des équations en facteurs, reposeront sur Yhypothése que toute équation à une racine. La légitilàité de cstte hypothèse sera vérifiée, car on en déduira des méthodes générales pour calculer toutes les racines des équations. •

On vient de démontrer qu’elle peut se m'ettre spus la forme

et que a,, a%, <13,... a„, sont m racines dç cette équation. Si elle admettait une m-j- 11*"* racine am+, , le premier membre

(x — a,) (x — a,) (x— pj)... (x — am),

serait divisible par x — am+l; ce qui est impossible, puisqu’on polynôme n’est décomposable que d’une seule manière en ses facteurs premiers (2* Remarque de la page 354).

224. II résulte des deux principes précédens que pour former F équation dont les racines sont a, C, ... , tt, il suffit d’égaler à zéro le produit des facteurs x — », x — C,.. . , x — <v.

Par exemple, on obtient l’équation dont les racines sont + *» — * et -f-2, en égalant â’xéro le produit des facteurs x — 1, x*f*>» •* — 2; ce qui donne •

(l)... X3 2Xa X -{- 2 = O.

La méthode du n° 58 conduit au même résultat. En effet-, l’équation cherchée ayant trois racines , est de la forme

(2) . . . x3 -}- ax* -J- b x + c = o ,

et chacune des valeurs 'x = 1 , x = — 1, x = 2 , devant y satisfaire, on. a

t-f-fi+i+cnro, — i-f-a— é-j-c-=o, 8+4a+2&4-c = o.

Pour tirer de ces trois équations les valeurs des-inconnues a, b , c, on ajoute les deux premières équations, ce qui conduit à c = — a; l’équàtion i-J-a-4-&+c = o,se réduit à 1 -f- b = o , d’où i&= — 1« Remplaçant b par — l 'et c par — a , l’équàtion 8-J-4<*-+-26 -j- c = o, donne a= — 27 or'c= — a, donc c= 2. La substitution de ces valeurs de a, b, c, dans (2) fournit l’équation (1) demandée.

Remarque. Lorsque plusieurs facteurs du premier degré de xm-}-/>xm— 1 -J-. . .-f-sx-f- sont égau^ entre eux, il n’y a plus m manières différentes. de satisfaire à l’équation