Les relations (2) démontrent les propriétés suivantes

l°. Quand C équation

(1).. . x“--f p,*"-1 -f p.x1*-* +.. .. + />m Ix+/>m=o,

manque de tecond terme ^ c’est-à-dire quand p,Xm~ 1 n’entre pas dans cette équation la somme des racines est zéro.

La réciproque est vraie.

2°. Lorsqu’une des racines de Liquation (1) est nulle , le dernier, terme p,„ est zéro; .car il exprime le produit des m racines.

Cela est d’ailleurs évident; car l’hypothèse x=o devant satisfaire à l’équation (1), il en résulte />„ = o.

3°. RÉciproqürment , lorsque l’équation (1) manque de dernier terme j c’est-à-dire' quand le dernier terme pm est mdj l’une des racines est zéro; car pm exprime le produit des m racines, et l’on conçoit qu’un produit ne peut devenir nul que lorsqu’un de tes factebrs se réduit à zéro.

On peut d’ailleurs démontrer directement la propriété énoncée; car l’hypothèse pm — o , réduisant l’éqdation (i) à

xm+ p,xn~‘ 4- p*xm-‘ 4- . . . -fl Pm-, x = o, on voit que x = o satisfait à cette dernière équation.

4°. Pour composer l’équation dont les racines sont a, b , ,

il suffit de chercher successivement, la somnie P, de ces racines, la somme P, de leurs produits deux à deux ,1a somme P3 de leurs produits trois à trois; et ainsi de suite jusqu’au produit Pra de ces m racines; l’équation demandée sera

xm — P,*"-1 + P,xm-a — P3X"-3 +. . .rp Pm-.xdfc Pm = o,

et selon que m sera pair ou impair, 011 devra prendre les signes supérieurs ou inférieurs.

Par exemple , si les racines données sont -f- * > — a et -j- 2,