y)m +Pi (— r)m- +pA ( — y)m~' + etc

seront — a, — b, — c, . . . , — k.

Lorsque m est un nombre pairj les exposans m — 2, m — 4> elc-> sont pairs, et les exposans m — 1, m — 3, sont impairs; l’équation (2) se réduit à -, ,

(3) . . . ym-piy,x~'-k‘p<>ym~’ — p^ym~‘s+Piyn~i — etc. = o.

. Quand m est impair, l’équation (2) devient

— ym +p>ym~' — p*ym~‘ +psy’,~3 —psym~* 4- etc. == o, et en changeant les signes de tous les termes , on obtient encore l’équation (3). '

Par conséquent : Pour que toutes les racines de l’équation (1) changent de signes, il suffit d’y changer les signes des termes de rang pair. .

8°. Quand toutes les racines fit P équation (1) sont négatives, tous les termes de ce (te4q ua tic » sont positifs y car les expressions (2) {page 365) des coefficiens />„ p3, etc., sont positives.

■ g?. Lorsque toutes les racines de l’équation (1) sont positives, les . termes de cette équation sont alternativement positifs et négatifs y car en vertu des relations (2) {page 365) , les valeurs des coefficiens p, , p3 , etc. , des termes de rang pair sont négatives, et les valeurs des coefficiens p% , , etc., des termes de

rang impair sont positives.

lr< Rem A h qu?:. Quand tous les termes de l’équation (1) sont positifs, cette équation n’a. pas de racines positives, car la somme de plusieurs nombres positifs ne saurait se réduire à zéro.

2* Remarque. Une équation

• xm — pxm~' -f qxm~* — rx"-3 + etc. = a,

dont les termes sont alternativement positifs et négatifs , n’a pas de racines- négatives y car en y faisant x = — y , ce qui change les signes des racines, elles devient

ym + pym~‘ + çym~i -h etc. = o ,

et cette dernière n’ayant pas de racines positives, la proposée n’a pas de racines négatives.

297. Les relations qui existent entre les racines et les coefficiens dé une équation ne peuvent pas servir à déterminer directement ces racines en fonction des coefficiens.

Par exemple , si l’ équation proposée étant ( i ) . . . x3 + px* + qx + r = o ,