CHAPITRE VII

ses racines sont a , b , c, on aura (n° 2a5),

(2)... — p-=.a-\-b -f-c, q =z ab ac -j- bc , — ré=aj>c.

Pour tirer de ces trois équations les valeurs des inconnues a, b, c, il faut d’abord éliminer deux de ces inconnues.

Si l’on veut 'éliminer b et c, on observe que les relations (2) donnent

pa' = — (a-j-i + c)a*, qa = (ab -j-ac -f- b'c) a , ren ■ abcc Ajoutant ces trois dernières équations, il vient

pa* qa-\- r=— -a*;' d’où as+/»a1 + ga -f- r = o;

et cette dernière équation est aussi difficile à résoudre que la proposée, car ses coefficiens sont les mêmes.

On pouvait prévoir ce résultat; caries relations (2) restant les mêmes quand on change l’une quelconque des racines a,b,c ^ en une autre, on peut faire ce changement dans toutes les équations qui se déduisent des relations indiquées ; par conséquent, si <p(a) = o est l’équation qui résulterait de l’élimination de b et c entre les équations (2) , les équations qui détermineront b <

etc seront <p (6) == ol,<p (c) = o; de sorte qùe a, b, c,sotit les racines de l’équation <p (x)=o ; cette dernière ayant les mêmes racines que l’équation (2) , on a vu (n° 226, 6°) que <p (x) est nécessairement égal à x3 -\-px*-\-qx -f- ry les équations qui déterminent les racines a, b, c , sont doue

a3-f-pa’-f-^a+r=o, i3-f-jp6,-f^i'4-r=o, c34-pc,+ÿc-f-r=:o.

228. Quand le produit de plusieurs facteurs entiers quelconques se réduit à zéro j l’un de ces facteurs devient néfiessai- . rement nul. En effet, soient a, b} c,..., I , des factçur» entiers quelconques, et désignons leur produit par P; il résulte du principe du -n® 225 que l’équation dont les racines sont a, b, c, . est

(0 . ,r” +. . .rt-pm^t x+P = o.

Lorsque P est zéro, là valeur x=o Satisfait à l’équation (1) ;

3 yo ALGÈBRE.

une des racines a, b, b, est donc nulle, un des fao

teurs dij produit P est donc zéro.

329: Lorsque £,...,«, désignent n quantités différentes j et que ckacuite des hypothèses x—a, x =£, . . . , xaac«, réduit ■ ■ ’

(1)... xm-i-pxmr~ ‘-J-.. .éJ^sx-Ç-t

• à zéro j ce polynôme est divisible par un polynôme du niimt degré en x qui résulte de la multiplication des n facteurs premiers x — et, x — .G, . . . , x — «. On suppose que n nJest pas plus grand que m.

En effet, puisque x — a. réduit le polynôme (1) à zéro, il est diyisible par x — et ; le quotient est «jonc un polynôme entier du m— i^"' degré x"1""1 -f-p'x"- ‘ -f- etc., et on a l’identité xm + etc. = (x — «) (xm— 4- etc.).

Or, par 'hypothèse , x = £ réduit- x" 4- etc. à zéro; la valeur x = G ■ doit donc réduire à zéro le produit de x — » par xm-J 4 -p'xm*~* 4“ etc. ; mais G n'étant pas égal à * , Ja valeur x=£ ne rend pas nul le facteur x — «; il faut doqc que x— £ réduise à zéro l’autre facteur xm— 1 4 ’/z"-1 4“ etc. (n° 228) ; ce dernier polynomp est donc divisible par x — £ ; le quotient est un. polynôme du (m — degré r*-1 “4-etc., et on a

xm~ 1 -f- etc. = (x — C ) (x"-» 4- etc.) ; d’où x"* 4- etc. (x- — «) (x — £) (x"!-* + etc.).

Continuant ces décompositions jusqu’au n'im‘ facteur x — <*, on parviendra à l’identité

ài* 4- etc. = (x — «) (X — G) . . . (x — ») (x*-* 4* etc.) ; ce é|ui démontre le principe énoncé.

' Par exemple, chacune des hypothèses x = i , x = 2 , réduisant x3 — axa — X + 2 à zéro , ce polynôme est divisible par le produit x*— 3x4-2 des facteurs x — 1, x— -2; le quotient est x4- 1.

On peut encore dire: puisque x=« réduit xm4^px"*,4- etc. à zéro, ce polynôme est tjivisible exactement par x — «; de