CHAPITRE VII. 33i

sorte que'

x” 4- pxm~~l -P etc. = (x — «) (x*r* 4- p'x*1- * 4- etc.) .

Mais1 x = G doit réduire xm -f- px1"-1 4 etc. à zéro ; ce polynôme est donc divisible par le facteur premier x — £5 il faut donc que x — G divisé le produit (x — *) (xm~‘ 4” etc.) . Mais , x — G est premier arec X — « , puisque' G n’est pas égal à *; le polynôme xm~' ‘-f- etc. est donc divisible par X-*—G. On a donc ridentité • : , ■ r •

xm 1 4- p'xm-a 4* etc. = (x — G) (xm— 1 + p"xm— 3 4- etc.) ; d’où. ' . • .. .

xm 4/,r‘”~,4etc. — (r — *) (x — C) (r*-1 4“ p”xm— 3 4* etc.) , et ainsi de suite. . ' » '

Réciphoquement , lorsque te polynôme

(1) . . . x"l 4* px“— ‘ 4~. . . 4“ sx 4" * est divisible par un polynôme du »M***

x*4- ûx"-1 4* ùxB-*4*- • -4-Ax 4* V.

/«s « valeurs ce, £,. . •> c>j de xt qui réduisent ce dernier polynôme à sj/ro,; jouissent aussi de la propriété de rendre nul le polynôme (i). Car le quotient de la division de xm-\rpxm~' 1 4- etc. par xf~i~axn~ ‘4- etc. , est un polynôme entier t);ona l’îdcritité xm 4- pxm~‘ 4~ etc. = (x" 4r ax<‘~‘ etc. ) X Q ,

et chacune des «hypothèses x =», x = G, . . . , x = • », réduit le sçcond membre à -zéro, puisque le polynôme entier Q ne saurait devenir infini; ces n valeurs de x réduisent donc lepremier membre x" 4 • pxm~i -+■ etc. , à zéro.

a3o. Quand une équation a n racines égales â tèrOj lescoefficiens des n derniers termes- sont nuis. En'elfet, soit l’équation

(i)... x’n4-pxm-,,4-"4'A^.xl,4Allx,-,4AI1,x“-s4-...4-A,x4A,=:o.

Si elle admet .n racines égales à aéro, son premier membre sera divisible par. (x ; — o)n ou . par x* {Remarque c Um° 224) ; ce qui exige que les n coefficiens A,; Ai, ... , A„., soient nuis. HéciprOq'uement , quand ces « coefficiens sont nais, le pre-

37â ALGÈBRE.

mier membre est divisible par x" ou par (x — o)* ; l’équation (i) a donc n racines égales à zéro (Remarque du n° ,224).

Les relations du n° 225 conduisent aux mêmes propriétés.

Par exemple, lorsque deux des racines a, b , ç,.. k , de l’cquation (1) sont nulles, le produit ± A, des m racines est zéro; et tous les produits m — 1 à m — 1 des racines contenant au moins un facteur nul, leur somme dtA, se réduit à zéro ; donc A, = o et Atr=o. .

Réciproquement , .si A, et Aa sont nuis, le produit ±A, des m racines a, b,. .., k, sera zéro; l’une de ces racines sera donc nulle. Soit a = o ; la somme ± A„ des produits m — 1 a m — 1 des m racines, se réduira à bc....b, car tous les autres produits renferment le facteur a; le produit bc. . . b étant nul, il faut qu’une des m — 1 racines b , fi,..., b, soit zéro. Deux des racines de l’équation (2) sont donc nulles.

23 1. Lorsqu une équation ne renferme qui des puissances paires de l’inconnue j toutes ses racines sont • égales deux à deux et de signes -contraires . En effet, cette équation étant de la forme

' (1) . . . a?" + P-c*—» -I- Qxa— 4 + . . .4. Sx5 + T = o,

si l’on fait x* = z, elle devient

(2) . . . zm + Pi”-,4Qz."w* +. . .+ Sz + T = <5. Désignant par a, b, c,..., I, les m racines de l’équation (2), et observant que la relation x* = z donne x = ±;^/*, on voit que les 2 m racines de l’équation (1) sont

On peut encore le démontrer en observant que si x — a réduit le premier membre de l’équation (1) à zéro, x = — a jouira de la même propriété, puisqu’il n’entre que des puissances paires de x.

RÉcrpnOQUKMENT. Lorsque toutes les racines d’une équation sont égales deux à deux et de signes contraires , cette équation rahienée à la forme xm -f- /JX1"-1 -f- qxm~i -j- . . . -j- sx -f- 1 =0 , ne renferme que des puissances paires ds l’inconnue y car les