CHAPITRE VII

racine» de cette équation étant de la forme ±a, dzb, . . . , ±1, son premier membre est le produit des facteurs

(x— a), (x+a), {x—b), (x + b),... , (x — k), (x+£), et comme ce produit revient a

il ne renfermera que des puissances paires de x.

§ II. Des limites des racines.

23a. Toute quantité plus grande que la plus grande racine positive .d’une équation est ce qu’on nomme la limite supérieure des racines positives de cette équation ; et toute quantité moindre que la plus petite des racines réelles positives, est une limite inférieure' de- ces racines.

Les mêmes définitions conviennent aux valeurs absolues des racines négatives. • e

Nous, allons faire voir qu’on peut toujours exprimer les li • mites des. racines -d’une équation j en fonction des coefficiens de cette équation.

•Soit l’équation

(1). t. x" px’""’ rh çx“-’ ±. . .±sr ± t-=t o, et 'désignons son premier membre par

On aura trouvé une limite supérieure-des racines positives de V équation f '(x) = o, si l’on peut obtenir un nombre positif tel que substitué pour x 11 rende lé premier 'membre positif, et tel en outre que toute valeur plus grande de x, jouisse de la même propriété.

Pour’ obtenir une valeur positive de x qui , substituée dans f(x)y donrie. nécessairèment un résultat positif, on représente par N le plus grand des coefficiens négatifs- de /(x) pris positivement; la parjiie positive de f (x) n’est jamais moindre que xm, et la valeur absolue de la partie négative de f (x) ne saurait surpasser Nx^-’-f-Nx"-*-!- . . . -f-Nx-f-N ;‘la valeur de x qui rend x * — Nxm~* — NV-2 — ... — N-x— -N positif, rendra dqnq, à plqg forte raison /(x) positif. Or, l’inégalité

3?4 AI.GÈBnE.

xm — Nx"“* — Nx'"~* — . . • — Nx — N ]> o, revient à xm — NCr”-1 + JP™- 1 '+• • >-i~x + i)> o, ou à fj*"-— i

X” — N^i1^>o, c^r xm-|+...+ j:+! =

La dcrnicve inégalité pouvant sé mettre sous la forme

(x — I — POx" +N

on y satisfait. en posant 'x, — i — N = o, ou -x=p:N -f- i ; car

cettjB valeur de X réduit l’inégalité (a) à — >o, c’est-à-

dire- à -f- 1 > o. •.

On rendra donc f (x) positif, en y faisant x = N -f- 1 . Toute valeur de x plus grande que N + i jouit de la même propriété; car en faisant x = N -J-« dans l’expression (a)

de xm — Nxm l — . . — Nr— N, le résultat

est essentiellement positif (on suppose S~^> o) ; la vajeur de /(x) , correspondante àr = M + i -f «f, est donc à plus forte raison positive.

üne valeur de x égale àB+i ou plus grande que îf-+»i,*ie pouvant jamais réduire /(x) à zéro, les racines positives de l’équation f(x) = o, sont moindres que N-f-i.

Par conséquent -: La limite supérieure des racines positives dJune équation est égale au plus grand dès coejjiciens àégatifs pris positivement et augmenté, de l’unité.

Exemple. Soit l’équation x3 — ax“ — x -f- a — ».

La limite supérieure de ses racines positives est a + i , où 3; et en effet, lès racines positives de cette équation étant -f- i et le nombre 3 est plus grand que chacune de tps raçines.

233. On peut souvent obtenir une limite supérieure plus approcliée, c’est-à-dire' une limite supérieure moindre que la précédente. En effet, soit une équation •

(i). ... xm4-.\ .■+-ÿx“"*■4', — rxm~" ±. . .± sx ± t— o , .

dans laquelle le premier des termes affectés du signe — est rxm~m. désignons son premier membre par /" (-»>). Pour déter-