CHAPITRE I

le multiplicande, les mêmes opérations qu’il faudrait effectuer sur l’uuité, pour former le multiplicateur.

■ Le multiplicande et le multiplicateur sont les facteurs du produit.

12. Nous avons démontré en Arithmétique, que le produit de plusieurs facteurs commensurables ne change pas de valeur dans quelque ordre qu’on effectue les multiplications; nous allons faire voir que la même propriété convient à des facteurs incommensurables quelconques.

Cela se réduit à prouver qu’on peut intervertir l’ordre de . deux facteurs consécutifs quelconques , b , c

Soient., a le produit des facteurs incommensurables qui précèdent b,etd,e,f, etc., les facteurs incommensurables qui suivent c; le principe sera démontré si les produits abc, acb , sont égaux, car en les multipliant successivement et dans le même ordre par d, e,f, etc. , les résultats seront nécessairement égaux.

Or, on peut toujours concevoir des quantités commensurables variables d , b' , c' , respectivement moindres que les incommensurables constantes a,b,c, et qui en approchent indéfi- ■ . niment (*) ; c’est-à-dire que les différences a — a', b — b', c — c, peuvent devenir moindres que toute quantité donnée.

Soient, pour simplifier,

abc— A., acb = B, a'b'c' — A' , acb' — B'.

Les produits A', B' seront respectivement moindres que A et B, et les différences A — A', B — B', seront susceptibles de devenir moindres que toute quantité donnée.

Cela posé : si l’on avait A ~f> B , la différence A — B serait finie et constante ; le produit A' pouvant approcher indéfiniment de A, la différence variable A — A' finirait par devenir

(*) Toutes les fois qu’on <lira qu'une quantité variable approche indéfiniment d'une quantité constante, on entendra que la différence entic ces deux quanti:és est susceptible de devenir moindre que toute grandeur donnée.

moindre que la différence constante et finie A — B; de sorte que A' finirait par dépasser B. Mais , a, b', c, étant commensurahles, les produits A', B' restent constamment égaux ;• B' deviendrait donc plus grand que B; ce qui est absurde, puisque les facteurs a , c', b', de B' sont respectivement moindres que les facteurs a , c, b, de B. Or, cette absurdité résulte de ce qu’on a supposé que les produits A, B étaient différens. Ces produits sont donc égaux.

l3. Eu général, lorsqu une relation a lieu entre des quantités , quelques valeurs commensurables qu’elles puissent avoir , cette relation subsiste encore, quand ces quantités deviennent incommensurables.

En effet •, soient A et B des expressions qui renferment des quantités incommensurables données a, b , c, etc. , et qui sont telles, que A = B quand on remplace a, b, c, etc., par des quantités commensurables quelconques. Il existera toujours des quantités commensurables variables a', b', c', etc., qui approcheront indéfiniment de a, b, c, etc. ; et l’on pourra supposer à volonté que a' , b', c', etc., sont respectivement plus grandes ou plus petites que a,bfC,d , etc.; de sorte que les différences entre les variables a', b', c', etc., et les constantes a,b,cy etc. , seront susceptibles de devenir moindres que toute quantité donnée. Désignant donc par A' et B' les valeurs commensurables que prennent les incommensurables A, B, quand on y remplace a,b,c, etc., par a', b', c', etc. , il suit de l'hypothèse que les variables A', B' seront toujours égales entre elles. A mesure que a',b',c, etc., approcheront de a,b,c, etc-, les quantités A', B' approcheront indéfiniment [de A et B ; et l’on pourra toujours supposer qu’elles restent moindres que A et B , en prenant pour a', b\ c, etc., des valeurs approchées convenables. Cela posé, si les incommensurables A, B n’étaient pas égales, l’une d’elles , A par exemple, serait plus grande que l’autre ; et la différence A — B étant une quantité finie, on pourrait toujours concevoir que la variable A' augmentant et s’approchant indéfiniment de A, finirait par dépasser la quantité B moindre