CHAPITRE I. ig

que A ; mais B' = A' ; B' dépasserait donc sa limite B ; ce qui est contre l’hypothèse. Le principe est donc démontré.

>4- On a vu en Arithmétique que, pour multiplier par le produit de plusieurs facteurs commensurables, il suffît de multiplier successivement par les fucteurs du produit. (Arilhm., n° 17. ) II résulte du principe précédent que la même propriété convient à des facteurs incommensurables quelconques.

JJe la multiplication des monômes .

i5. Les principes établis dans les n°' 3 et 12, démontrent les règles suivantes :

l° Le coefficient du produit de plusieurs monomes est égal an produit des coeffi tiens de ces monomes. Par exemple,

3aX2i = 3xaX2X4 = 3xaXaX4 = W.

Cela est d’ailleurs évident, car le produit de 3a par b étant 3 ab> si multiplicateur ^ient 2 foi*, plus grand, le produit

deviendra 2 fois plus grand ; le produit de 3a par 2 b est donc 2 fois 3 ab , ou 6aZ>.

2°. Le produit de plusieurs puissances d’une même quantité , a pour exposant la somme des exposons de cette quantité dans les facteurs.

Ainsi, £’ X h3 = X bbb = bbbbb — h5 =

En général , lorsque m et «sont des nombres entiers positifs on a

am X a* = am+“.

3°. Lorsqu’un produit contient plusieurs puissances d’une quantité , il suffit d’écrire une seule fois cette quantité, et de lui donner pour exposant la somme des nombres qui marquent combien défais elle est facteitr. Par exemple,

a*b' X a*è* = a3ô*aah* = cda'lêb* ~ a3'+'îè*+4 ~ asbe.

4°- Quand un des facteurs d’un produit se réduit à zéro , le produit devient nul; car on peut prendre |>our multiplicande le

facteur c|iii doit se réduire à zéro, et le multiplicande zéro répété plusieurs fois, donne nécessairement un produit nul.

5°. Le produit de deux monomet de même signe a le signe -4- , et le produit de deux monomes affectés de signes différens a le signe — .

Pour le démontrer, nous supposerons que le multiplicateur est un nombre entier, ‘car le signe d’un produit ne dépend que des signes des facteurs. Dans cette hypothèse :

Quand le multiplicateur a le signe le produit a le signe du multiplicande ; car le multiplicateur positif étant composé de la somme de plusieurs unités, il résulte de la définition de la multiplication , que le produit est la somme de plusieurs quantités égales au multiplicande, et la somme de plusieurs quantités de mêmes signes est affectée du signe de ces quantités.

Ainsi , le produit de -f- a par -f- b est -f- ab , et celui de — a par -f- b est — ab.

, Par exemple ,

Quand le multiplicateur a le signe — , le produit a un signe contraire à celui du multiplicande ; car le multiplicateur négatif étant composé de la soustraction de plusieurs unités, on* formera le produit en retranchant plusieurs fois le multiplicande ; ce qui revient à faire la somme de plusieurs quantités de signes contraires au multiplicande.

Ainsi , le produit de -f- a par — b est — ab, et celui de — a par — è est 4- ab.

Par exemple, dans la multiplication de — 3 par — 2 , le multiplicateur — 2 étant composé de la soustraction de a unités, le produit s’obtiendra en retranchant 2 fois le multiplicande — 3 ; or pour soustraire — 3 , il suffit d’écrire -|- 3 ; le produit demandé de — 3 par — a, est donc -f- 3 -f- 3 ou + 6.