CHAPITRE VII
miner la valeur positive de x qui rend nécessairement /"(x) positif, on supprime les termes compris entre x” et — rx"‘— ” , ce qui diminue la partie positive de J" (x) ; on affecte tous les autres termes du plus grand coefficient négatif —N, ce qui augmente la partie négative d ef (x). Les valeurs positives de x qui satisfont à'-la condition
(2) . . . xM — Kx”-' — Nxm*l — . . . — Nx — N > o, conviennent donc à plus forte raison à l’inégalité proposée
(3) . . . xm + . . .^-yx,“-'H", — rxm— " zfc . ..±ix±<>o.
D’après la formule (>), (jpage 33), l’inégalité (a) revient à
Cette dernière sera vraie, si x — t étant positif, cm a
Pour satisfaire à l’inégalité (5) , il suffit de poser (x — 1) (x — i)"‘ =-N,
car x”-* étant pjus grand que (x — i)*— *, On aura (x — ijx*- ‘>(x — 1) (x — O1'-1, ou (x — iJx'-'^N. La condition (x — ’i) (x — i)’^', = N, donne
' tk. . ' *• n. * ■
(x— ‘ l)“3=N, X — IssV/N,^ X=I-J-V/N.
Prenant donc la valeur arithmétique de \/N on sera certain
que l’hypothèse x = 1 -f- N satisfait ii toutes les inégalités précédentes. Or, n exprime la différence entre l’exposant m de x dans le premier terme, et l’exposant m — ra de x dans le premier des termes affectés du signe — .
Par conséquent : Lorsque le plus grand coefficient négatif
d'un polynôme X* -4- etc. , étant *— N., le premier des termes affectés du signe — est rxmxmJ la valeur de x qui rend ce.poly-
nome nécessairement positif est l -f- y/N.
Toutes les valeurs de x plus grandes que I + \/N jouissent
de la même propriété ; car l’inégalité (S) ...(x — x) x*~ 1 > N
ayant lien quand x= i + si l’on donne à x des valeurs
plus grandes, le premier membre (X. — i').xu‘~' augmentera ét restera par conséquent plus grand que N.
Il en résulte que i + \/N est une limite supérieure des racines positives de l'équation (l).
Lorsque n et N sont plus grands que l’unité, cette limite est moindre que i + N> et par conséquent plus approchée.
Qudàd \/ N est incommensurable , on prend pour limite , la plus grande valeur entière approchée de ce radical augmentée de l'unité.
Ier Exemple. Soit l’équation
la limite supérieure de ses racines positives est i + V^49 ou 8. \
a* Exemple. Soit l’équation •
x3 + qx — 6o = o,
la limite supérieure de ses racines positives est J +l/6o ou 5, ... . 3 •
car la plus grande valeur entière approchée de \/ 6 o est 4-
234. Pour déterminer la limite inférieure des racines positives de l'équation f{x) — o , il suffit d’y faire x es - et de
chercher la limite supérieure d'dès racines positives de la transformée f == o \ la limite' inférieure demandée sera car x est d’autant plus petit que * est plus grand.
