CHAPITRE VII
l’on trouve que la limite inférieure «les racines positives de
l’équation (2) est r~7~5- .
Par conséquent : La limite inférieure des racines positives d’une équation est exprimée par une fraction qui a pour numérateur le dernier ternis de l’équation proposée, et pour dénominateur le dernier terme augmenté , du plus grand coefficient de signe contraire à ce dernier terme. (Le dernier terme et le plus grand coefficient négatif, doivent être pris positivement. Cette limite est toujours moindre que f unité. .
Exemple. Soit l’équation
x3 — 3oxs + 204? + 2 = o, , ... • '
* .21 la limite inférieure de ses raciries positive s est'^p^ ou ^g.
a36. Pour déterminer les limites des racines négatives d’une équation (1 )...f(x) ==o, on y fait x = — y, les racines de la transformée (o.)...f(—y) = o, étant égales à celles de l’équation (1) prises avec des signes contraires (n° 226,7°) , les limites des racines positives de f2) seront lés limites demandées; c’est-à-dire que si les limites des racines positives de .1, 'équation (2) sont l çt L, toutês, les racines négatives de l’équation (1) seront ' comprises entre — l et — L. '
Exemple. Soit l'équation
(1). . . x® -f- x* 4* 8x5 — 3lx* — 64x — 1 ==.0 ;
on y £qit x = — y, cé qui donne
(2) . . • y* + y* — frr3 — 3*y‘. + 64y — 1 = o.
Les limites des racines positives de l’équation (2) étant 3 et
, celles des' racines négatives de l’équation (1) sont - — 3 et
JL 1 L -
237. Lorsqu’une équation ne renferme que des puissances paires de l’inconnue , ses racines positives et négatives ont les memes limites ; car eu changeant -x en —p, l’équation reste '
la même. Et en 'effet , dans ce cas toutes les racines étant égaies deux à deux et de signes contraires (n° a3i) , les râleurs absolues des racines négatives sont les mêmes que celles des raçines positives. • . '
Exemple. Soit l’équation x6 — 2X4 — 8r* + i = o. Toutes ses raoines positives' étant comprises fentre 4 et ÿ, ses
racines négatives toriibent entre -L*4 e*- —
238. La forme particulière d’utie équation' permet quelquefoi» de trouver des limites plus approchées que les précédentes. Nous allons en donner des exemples. •
i°. Soit ‘l’équation x8 -4- iox5 — 3ox4-J- 3oox — goo = a. Les limites supérieures de ses racines positives déduites des règles des nOT 232 et 233, sont 901 et 3i.
Mais, en mettant cette équation sous la forme
x* *+• 10 (x — ' 3) x4 -J- 3oo (e — 3) = o, on voit que -toutes ses racines positives sont moindres que 3.
u°. Soit l’équation x6 — «2X* — 8x*+i=o.
Si l’on y fait x5=a, elle devient t?-*- 2«* — 8s+i ^=0.
Les racines de cette dernière équation étant comprises entre
9 et la relation x = l/ a démontre que les racines de l’équation ep x tombent entre fe'get c’est-à-dire entre 3
et g. Ces nouvelles limites sont plus approchées que les li-
mites 4 et ^ qui seraient fournies par les règles des n°* 233 et 234, car3<4et|>^
3°. Soit l’équation générale
(i)...xi"-f-ax'"-a4-...4-?xam-,,,+*— rx'm-'"±...±.sx,±it= o , qui ne contient que des puissances paires de x, et dans laquelle
MfeU’lTRE VIF. 38t
le premier des termÿ affectés du’ aigue — est —.rx*m~'’. Si le plus grand coefficient négatif est —S, la limite supé-
rieuredes racines positives et négatives sera L = i -J-
On obtient une limite supérieure plus approchée en fai'sant x* — z. En effet ; l’équation (i ) devient
"4- azm~'+ . . . +qz”- ■+1—
rz
. .±sz±t — o,
et la limite supérieure des racines de l’équation (2) étant
1 4- V^N.la relation x = [/ z prouve que la limite supérieure
des racines de l’équation (1) est L'= y 1 + |/W. ,
Cette seconde limite est moindre que la première, car
n n an
L'a = 1 4- J/N et L*= 1 + l/ïï 4-2J/ÏL La limite L' est donc généralement plus approchée que L.
4°. Quand l’équation proposée peut se ramener à la forme
(3)«~ 4î(x,,)"-*4-«-4-^),+<*’)+«=îo,
on y fait x" = z ^ elle devient • •
(4). » . a” 4-/>*"~' 4- ÿam* 4-- • •+ «à* + “= °>
» . * • et la relation x 4/ a démontre qu’on obtiendra de nouvelles
limites des racines de l’équation (3) en extrayant la racine nttmt de chacune des limites des racines de l’équation (4).
Remahque. Lorsqu'on aura trouvé, par les méthodes précédentes, 'plusieurs limites commerisurables des racines d’une équation, on devra préférer la plus petite des limites supérieures , et la plus grande des limites inférieures, parce 'que qes limites sont plus approchées des racines réelles.
2Îg. Les valeurs absolues des coefficiens d’une équation restantes mêmes quand on y change le signe de l’inconnue , il est facilé de conclure de ce qui précède que les valeurs absolues de toutes les racines tant nécessairement moindres que le plue grand de tous les coejjicieps' pris positivement et augmenté
de F unité , et qu’elle» sont plus grandes qu’une fraction dbnt le numérateur est le dernier terme de F équation, pris positivelisent , et dont le dénominateur est ce dernier terme augmenté de la valeur absolue du plus grand de tous les coefficiens.
Ces limites ne sont pas toujours les plus approche'es , mais comme elles .spnt exprimées en fonction des coefficiens de l’équation proposée, on les obtient directement sans être obligé de transformer l’équation donnée. .
3<!{o. Quand un polynôme xm±pxm~ l±yx'n— 1 “±, . . +.tr+< est ordonné suivant les puissances entières positives et décroissantes de x, on peut toujours déterminer One valeur de x , qui rende Iq premier terme plus grand que la valeur absolue de la somme de tous les autres termes; et qui soit telle eu outre, que toute valeur de x plus grande jouisse de la même propriété.
En effet, soit c la valeur du plus grand de tous les coefficiens p, q, '. . . , s, /; on- aura
cxm-’+cx,n— +. . .+cx-\-c'f>±pxm~'±qxm~*±. . ;. ±s.c±/.
11 suffit donc de satisfaire à l’inégalité
xm > ex”-1 ci"*-1 . . /-f- ex -4- c ; elle'donne
(Xm— 1\ X— U J
> ( page 3 7 4) ; d’où
(x— 1 — c)xn,-^-c
On satisfait à cette dernière inégalité-en prenant r ^=c -J- 1. La valeur de x qui rend le premier terme d’un polynonjé plus- grand que la valeur absolue de la somme Je tous les autres jternjes, est donc égale au plus grand de tous les coejficiejis pris positivement et augmenté de l’unité.
On démontrera Comme dans le n° 232, que toute, valeur de x plus grande que ç -f- I jouit de la même propriété,
Il est facile d’en conclure que si £ désigne un nombre pçsitif quelconque, chacune des vqleurs x=c-j- 1 -f-é, x=— (c-j- 1 rendra la valeur absdlue du premier terme X* plus grande, que la valeur absolue de la somfne de tous les autres termes .
Par conséquent : Lorsque m est pair, chacune des hypothèses x = c 4- 1 -j- X := — (c 4- 1 4- ê1), rend le polynôme
