CHAPITRE VII

xn±:pxm~'3zqxm~'J ±...± sx±t positif) quand m est impair , la valeur x ?= c -f- i + f rend le polynôme positif tandis que x = — (c -f- 1 +^) fournit une valeur négative de. ce polynôme. • 1

§ III. Règle des signes de Descartes.

24» • Lorsque doux termes consécutifs d’une équation sont précédés de signes différens, ce changement de signes s’appelle une variation , et il y a une permanence toutes les fois que ces deux ternies soi}! affectés des mêmes «ignés. 11 est évident gué le nombre des variations ajouté à celui des permanences est égal au degré de. l’équation, c’est-à-dire au nombre dés racines.

Lorsqu’un des termes manque, on le rétablit eu lui donnant 2±o pour coefficient.

Ainsi, l’équation x3 -f- x* — x + 1 =*= o contient une per- Manence et deux variations.

Nous allous démontrer qu ' une équation

xm ±.pxm~‘ ±. . .± sx ± t =* o, .

ne peut avoir plus de racines négatives qu il n’y a de peripanencesj ni plus de racines positives qu’ii n’y a de variations.

On peut toujours considérer le premier membre d’tme équation compte le produit des facteurs correspondans à ses racines imaginaires par les faoteurs correspondans aux racines réelles de cette équation. Il suffit donc de prouver que suivant qu’on multiplie le premier membre d’une équation par x -f-a ou p/r x — m, ce qui introduit une racine négative — a. ou' une racine positive -f et, la nouvelle équation renferme au moins une permanence ou une variation dé plus que l’équation primitive.

Nous démontrerons d’abord cette propriété pour le multiplicateur x-+-a. A cet effet, noüs allons foire voir. que si un polynôme de m termes jouit de la propriété, quand ou le multiplie par x-f-«, de donner un produit qui renferme au moins une permanence de plus que le polynôme multiplicande, un polynôme de m- f- i termes jouira toujours de la même propriété.

Soit X un polynôme x" + A±m— 1 -f-. . .-f-Sr-f- T, composé de m + i termes, A,i.. S, T étant de signes quelconques, et soit X' ce même polynôme privé de son dernier terme T. Appelons P le produit développé de-ï multiplié par x-$-ee, et P' celui de X'par x -f- et.

On aura P=P'+’l’(x + *), uu P=P‘+Tt)

en désignant par P' ce que devient le polynôme P7 + Tx après la réduction de Txavec S«r qui est le dernier terme de P7.

Il s’agît dë faire voir que si X'x (x + *) ou P*'3 au moins une pernranénce de plus que X', le polynôme XX (x-+-a) ou P contiendra au moins une permanence de plus que X. *

La réduction de Tx avec Sax présente deux cas :

l°. S- peut avoir le signe de T y alors P a toujours une permanence de plus que P'. Car les deux derniers termes Sec et Tx étant , dans ce cas , de même signe , P" a la même succession de signes qne P', et comme Tx et Tk sont toujours de même signe, il en résulte queP'+T* ou P a une permanence de plus que P'. Mais d’un autre côté, quand S et T sont de mêmç signe, X a une permanence de plus que X' ; or, par hypothèse P' a aussi une permanence de plus que X' ; donc P' a autant de pe;mapences que X’, par conséquent P a au moins une permanence de pins que X.

a®. S et T peuvent être désignés diffêtens ; alors P n’aura pas moins de permanences que P7. Car, ou la valeur numérique de Sa est plus grande que celje de T, et dans ce cas P* a le môme nombre dë permanences queP7, donc aussi P* -J-T« ou P a Te même nombre de permanences que "P'; où bien la valeur numérique de‘S* est moindre que celle de T, alors il peut arriver que la permanence, s’il en existe nné entre les deux derniers terYnes de ■P' ,.soit détruite dàns P“ par le signe du terme Tx; mais comme le dernier terme de P" est, dans ce cas, de même signe que Tk, ôn introduit- dans P^-J-Ta ou P, une nouvelle permanence ; de sorte que P aura toujours au' moins antqnt.de permanenoês qne P'. Mais, d’un autre côté, qtiand S et T sont do signes drfié-