CHAPITRE VII

rens , X n’a pas plus de permanences que X' ; mais , par hypothèse, P' a au moins une permanence de plus que X' ; donc P a au moins une permanence de plus que.X.

Or, il est facile de s’assurer que tout binôme xm±pxm~‘

multiplié par J>+«, donne pour produit un trinôme

xm+‘ + (* ± p) xm ± p* xm~‘ qui renferme une permanence de plus que le multiplicande xm±.pxm~‘-, car si l’on a égard au signe supérieur, le multiplicande n’a qu’une permanence et le produit en a deux; et si l’on prend le signe inférieur, le binôme n’a point de permanence, tandis que le second terme du produit forme une permanence avec le premier ou le troisième terme, selon que p est plus petit ou plus grand que *.

La propriété énoncée étant vraie pour tout binôme, il résulte de ce qui vient d’être démontré qu’elle est également vraie pour un trinôme, pour un quatrinome, et en général, pour un polynôme quelconque.

On prouverait par des raisonnemens analogues aux précé-r dens qu’en multipliant le premier membre d’une équatiou /(x)=o, par x — a, on introduira au moins une variation dans le .premier membre de la nouvelle équation <p (r) = o.

Mais, on peut arriver directement à cette conséquence en se fondant sur ce qui est déjà démontré. En effet , que l’on change les signes des termes de rang pair dans l’ équation f(x~) ~ o , et que l’on multiplie le premier membre par x-f-«,on]ohticndra une nouvelle équation F(x)=o, dont les racines seront égales et de signes contra ires à celles de<p(x)= o, (page 368). Or, pour déduire ^(x) de F(x) , il suffit de changer les signes des termes de rang pair; mais par ce changement, les permanences deviennent des variations et les variations deviennent des permanences, et comme on a démontré que F (x) a, au moins, une permanente de plus que f(x), il s’ensuit aussi que p(x) a au moins une variation de plus que f.(x), (*).

(') Cette démonstration de la Règle des signes de Descartes est duc h M. Mater (déjà cité page 3o" ); elle me paratc beaucoup plus simple que les démonstrations qui avaient été données jusqu’il ce jour.

Digitiz

Les .propriétés du n° 226 (8° et 9® ) sont des cas particuliers du théorème précédent

242. La règle générale du n° 241 peut servir quelquefois à faire reconnaître si une équation a des racines imaginaires. En effet , soit l’équation x3 -f- ax — 5 =± o.

En rétablissant le terme en x‘, il viendra

x3 ifc ox* -j- 2x — 5 = o .

Si l’on prend le signe supérieur, il n’y a qu’une variation; donc l’équation ne saurait avoir plus d’une racine positive.

Si l’on prend le signe inférieur, il -n’y aura pas de permanence; ce qui prouve que l’équation n’a pas de racine négative.

L’équation proposée a donc au moins- deux racines imaginaires.

En général , si on rétablit dans une équation du mitm ' degré* les termes qui y manquent en leur donnant o pour coefficient, et si en ayant égard successivement aux signes supérieurs et aux signes inférieurs, les nombres des permanences et des variations ne sont pas les mêmes dans les deux cas , l’équation admet nécessairement des racines imaginaires.

En effet; supposons qu’on obtienne dans le .premier cas, P' permanences et V' variations, et dans le 2e cas, P" permanences et y variations , on aura F -f- V' = P* -f- V" 3= m.

Soit P' ]> P", il faudra par compensation que V' < V" ; et comme d’après le théorème du n® 241 , l’équation ne peut pas admettre plus de P" racines négatives et plus de V' racines positives , elle admettra nécessairement des racines imaginaires ; car

P" + V'<P®+V", et par suite P'-j-V’<m.

243. Lorsque toutes les racines d'une équation sont réelles , eide renferme autant de racines négatives que de permanences, et autant de racines positives que de variations.

En effet; désignons par m le degré de l’équation, par n et p le nombre de ses racines négatives et positives , par P et V le nombre des permanences et des variations; les m, racines étant réelles, on a n-\-p — m.