Soit le polynôme entier

xm+/>x*-’ + çxm~a + . . ,-fr.r* + sx + t. 1

Pour calculer sa fonction dérivée f (x) , on y change x en x+h , ce qui donne

(x+A)--hP(x+A)—,+?(x+A)— +...+^x+ft)*+*(ar-|-A)+*.

Dans cette expression d c f(x-{- h), on développe les puissances indiquées, à l’aide de la formule du binôme; les termes affectés de la première puissance de h sont les seconds termes de ces développemens, et l’on trouve que le coefficient de la pre*mière puissance de h dans le développement de f{x -f- h) est

nu:'-' + (m — 1) px"1-1 -f- (m — 2) qxm~s + . . . + irx -f- s.

Comparant cette valeur dey' (x) à la valeur

x* -f- pxm 1 -J- gx'!'-* -f- rx* — f- sx -j— t

de/ (x) , on voit que pour former la fonction dérivée d " un polynôme x" + pxm~‘ 4- etc. , il suffit de multiplier chaque terme du polynôme par F exposant de x dans ce terme et de diminuer l’exposant d’une unité; car en opérant ainsi , les termes

x", px"~', gxm~% . . . , rx*

du polynôme f[x) , fournissent les ternies correspondans (m — îjpx"-1, (m — 2)ÿx"-3, . . . , 2rx, de la fonction dérivée f (x) ; et x° étant égal à l’unité, les deux derniers termes sx+fcr° dejf(x) donnent i X jx°+oX tx°~' ■ ce qui se réduit au dernier terme s de f' (x).

Par exemple , si f (x) = x3 — 5x* -f- 7X — 4 , on aura yv(x) = 3x“ — 2X5x+7-

246. Soit proposé de calculer la fonction dérivée du produit de m facteurs binômes x — atx—b, x — c, . . . ,x— k, sans effectuer la multiplication.

On a /(x) = (x — •) (x — b) (x — c). . .(x — h).

Changeant x en x + h,\\ vient f{x-\-h) = (x—a+h) (x—b+h) (x — c+h) . . . ( x—k+h ).

Pour obtenir le coefficient de Ja première puissance de h dans ce dernier produit, il suffit de multiplier successivement le terme affecté de h dans chaque facteur, par. les termes i’ndépendans de h dans les autres facteurs, et de faire la somme de ceè produits partiels (n° 18). On trouve de- cette manière que le coefficient cherché est

y,(x)=(x— £)(x— c)...(x— *)+(x— a)(x— c)...(x-*-i)+etc.

Il en résulte que la fonction dérivée du produit indiqué des m binômes x — a , x — b,...,x — k, est égale à la somme de tous les produits diffêrens qu’on peut former en prenant ces binômes m — I à m — 1.

On parvient au même résultat , en divisant successivement f(x) par chacun de ses m facteurs (x — a) , (x — b), . . . , (x — k); la somme des m quotiens exprime f (x). De sorte qu'on peut