CHAPITRE I

i°. Le produit a le signe , quand tous ses facteurs sont positifs.

2°. Le produit d’un nombre pair de facteurs négatifs est positif: car ces facteurs, multipliés deux à deux, donnent des résultats positifs.

Ainsi, ( — a) ( — b ) ( — c) ( — d) = ( + a&) X (+rrf) = + airtf.

3°. Le produit d’un nombre impair de facteurs négatifs est négatif ; car d’après (20), le produit de tous les facteurs, excepté le dernier, est positif, et ce produit multiplié par le dernier facteur donne un résultat négatif.

4°. Suivant qu’on change les signes d’un nombre pair ou impair de facteurs , le produit ne change pas de signe ou change de signe.

Il résulte de ces propriétés et du principe du n° 12, que le produit de plusieurs facteurs affectés de signes quelconques ne change pas, dans quelque ordre qu’on effectue les multiplications, car le signe et la valeur de ce produit restent les mêmes.

On trouve d’après les règles précédentes que

(-f -iaubc) X (4-4a'c‘) = ( — 3 a*bc) X ( — ^aic'i) = -f- 1 i.asbcJ , (+3a’6t) X ( — 4uiV)=( — 3 a‘6c)X (+4a'cl) =— i“2.aebc?.

De la multiplication des polynômes.

I *7 . Pour former le produit de deux polynômes , il suffit de multiplier successivement chaque terme du multiplicande , par chaque terme du multiplicateur , en donnant le signe -J- au produit de deux termes de même signe, et le signe — au produit de deux termes de signes différens.

En effet; soit proposé de multiplier a — - b par c — d.

Le produit de a par c étant ac, si le multiplicande diminue de b, le produit diminuera de c fois & ou de bc\ le proJuit de a — b par c est donc ac — bc.

Par une raison semblable, le produit de a — b par d est ad — bd.

Or, le produit de a — b par c étant ac — bc , si le multiplir-

caleur c diminue de d , le produit diminuera de d fois le multiplicande a — b, ou de ad — bd. Le produit de a — b par c — d s’obtiendra donc en retranchant ad — bd de ac — bc\ ce produit est donc ac — bc — ad -f- bd. Ce qui démontre le principe énoncé.

Remarque. La règle des. signes, dans la multiplication des monomes (n° i5, 5°), peut se déduire de l’égalité

(a — b) X (c — d) = ac — bc — ad-\-bd>

en supposant successivement que deux des quantités a, b,c , ,

se réduisent à zéro.

Par exemple, lorsqu’on fait «=o , c=o, on trouve que le produit de — b par — d est -f- bd.

Pour mettre plus d’ordre dans la formation du produit de deux polynômes et pour faciliter les réductions dont ce produit est susceptible, on ordonne les facteurs par rapport à une lettre, et on dispose les produits partiels de manière que les termes semblables se trouvent les uns sous les autres.

Exemple. Soit proposé de multiplier

— ô3 — a'b + a3 + ai* par — 4 b* + 3a‘ — 3 ab;

on ordonne ces facteurs pur rapport à a; ce qui conduit au calcul suivant:

Multiplicande o> — ta’+ b‘a — b'

Multiplicateur 3 a* — ‘iba — !\l>%

, l ias — 3 6at+3b’a' — 3 i’o*

Produits ) — 3in<4-34”aJ — 3b'a’+3b*a

partiels { — ^b'a'+^a^— 4*4a-P4i».

Produit total 3 a5 — Ci/l^+a4‘a, — — bÂa+$bs

La multiplication dn multiplicande par le i" terme 3a“ du multiplicateur, a donné le 1" produit partiel; on a obtenu le 2' produit partiel , en multipliant le multiplicande par le 2® terme — 3 ba du multiplicateur; et on a formé le 3e produit partiel, en multipliant le multiplicande parle 3* terme — du multiplicateur. On a dispose les termes semblables les uns

i«r produit.

2e produit, produit.