CHAPITRE VII
Pour effectuer la transformation indiquée, on observe d’abord > que lorsque le coefficient du premier terme d'une équation étant F unité j les coefficiens des autres termes sont des nombres entiers j cette équation ne peut admettre aucune racine fractionnaire ; de sorte que ses racines commensurables sont nécessairement des nombres entiers. En effet, soit une équation de cette forme,
(i). . . . xm + pxm 1 -+• qxm * 4- • • • ~h ex / == o.
Si l’une de ses racines pouvait être une fraction irréduc-
tible - , on aurait a
bm *
— = — (pbm~l -j- qab + . . . + sbam~‘ -f <«"—).
Or, par hypothèse, a, b,p, q,..., s, t, sont des nombres entiers, et m est un nombre entier positif; la fraction irréducbn
tible — serait donc égale à un nombre entier; ce qui est absurde. Le principe est donc démontré.
Les racines commensurables de*l’équation (i) ne pouvant être que des nombres entiers , on est conduit à ramener l’équation f(y)=o, dont on cherche les racines fractionnaires, à la forme (i). Pour y parvenir, on chasse d’abord tous les dénorminateurs, ce qui donne une équation
(2). . .aym-f by"~‘ -f- by- f 1= o,
dans laquelle a, b, c, . . . , b, l, sont des nombres entiers, et l’on cherche par quel nombre i' on doit multjplier les racines de l’équation (2) , pour que la transformée soit réductible à la forme (1), et par suite pour que ses racines commensurables soient des nombres entiers. A cet effet, on pose yX,t=x,
OC
d’où y— j 1 l’équation (?) devient
et en multipliant tous les termes par «T"-', on trouve
j xm -f-x b—' 4- dx*'~x + • • • + bîm~x x -f lîm~' = o.
Pour que celte dernière prenne la forme (1 ) , il suffit de faire
JC
J=za, d’oii ;y = - > car '1 011 résulte
(3). . ,xm4- bxm~‘ + cax"— 4- ... + ha"-x x + la—' — 6.
Toutes les racines commensurables de l’équation (3) étant des nombres entiers, il sera facile de les déterminer, et en les divisant par le nombre connu a , les quotiens seront les racines commensurables (entières et fractionnaires) de l’équation (2) proposée. ’ ,
Exemple. Soit l’équation (4)... /(y* — y + 3=o.
Pour la ramener à la forme (1), on y fera y formée sera '
la trans-
4 Qp — 7 Qp4*3 = o, (Sj.-x3— 728* 4-48 = 0-
Les valeurs commensurables dç x seront des nombres entiers.
Toutes les racines positives de l’équation (5) sont moindres que 1 + \/4® ou que 8; changeant x en — x, on trouve x3 — 28x — 48 = 0, de sorte que les valeurs absolues des ra-cines négatives de, l’équation (5) sont moindres que 1 4~ 4^
ou que 8. II suffit donc d’essayer pour x les nombres entiers
On trouve que x=2, x=4 et x— — 8, satisfont à l’équation (5) ; les valeurs correspondantes de y déduites de là rela-
cc 1 3
tion y = 7 , sont -f- + 1 et .
