CHAPITRE Vn
3.55. Nous allons faire voir qu’on peut souvent diminuer le nombre des essais. A cet effet , considérons l’équation
(i). , .x3 + prx'+ptx+p3 = o,
dans laquelle p,, p. et p3 sont des nombres entiers positifs ou négatifs. Si « représente une racine commensurable de cette équation, a sera nécessairement un nombre entier, et on aura
«3-f-p,«’ + pa.*-|-p3 = o,. d’où = — {pt + p,* -+-•*)•
11 faut donc que le quotient de p3 par • soit un nombre entier. Toute racine commensurable d’une équation ramenée à la forme (l)> divise donc le dernier terme de cette équation.
On obtiendra donc les 1 racines commensurables de l’équation (l) en essayant les diviseurs du dernier terme qui sont compris entre zéro et les limites supérieures des racines.
Exemple. Soit l’équation x3 ax* — gr — 18 = o.
Les valeurs absolues de scs racines réelles étant comprises entre 6 et — io , il suffit d’essayer les diviseurs « , a, 3, — I , — 2, — 3, — 6, — 9» du dernier terme. On trouve ainsi que les racines de l’équation proposée sont + 3 , — a et — 3.
On peut diminuer le nombre des essais à faire sur les divi-
seurs du dernier terme p3-, car en posant — = q, , q, sera un
Ct
nombre entier, et on aura
<7.=— (/’»+/’.« + <*')> d’où = — (P. + «)•
Le quotient de y, ■+• p, par æ doit donc être un nombre entier. Si cette deuxième condition n’est pas satisfaite, le diviseur « du dernier terme p3 ne sera pas racine de l’équation (i)..
Si le quotient de q, +p» par » est un nombre entier ya , on aura
q» — — (p, +-), d’où q, p, = — a.
Il faut donc que q% -(- pf soit égal au diviseur « pris avec un signe contraire.
Toute racine eommensurable « de l’équation (i) doit satisfaire à ces trois conditions. *
RicxpROQUEMEKT, tout diviseur « du dernier terme qui satisfera aux conditions précédentes sera une racine de l’équation (i), car en éliminant q, et q% entre les relations énoncées
Pi
on trouve successivement
Pi — — (*+P,) **— + + Pi = o,
et cette dernière relation exprime que a est racine de l’ équation (i). . .a;3-l-p1r!,-f-/>,a:+p3 = o.
Par conséquent : Pour-découvrir si un diviseur * du dernier terme de l’équation x3 -+- p,x* -+-pax + pj=» o, est racine de cette équation, il suffit de chercher le quotient q, de ps par «; on ajoute à q , le coefficient p% de la ir* puissance de x, et on divise la somme q,+p » par « ; si le quotient n’est pas un nombre entier, * ne sera pas racine; si le quotient est un nombre entier qt, on ajoute. à ce. quotient le coefficient p, de x"; si la somme q% p, est égale au diviseur « pris avec un signe contraire , * sera une racine ;et si cette somme n’est pas égale à —a, le diviseur a. ne sera pas racine.
Ainsi, dans l’exemple de la page 399-, pour essayer le diviseur 3 du dernier terme de l’équation x3-f- 2x* — gx — 18 = 0, on divise — 18 par 3 ,ce qui. fournit le quotient — 6; on ajoute à ce quotient le coefficient — 9 de x, et on divise la somme — i5 par '3, ce qui donne le quotient — 5; on ajoute à ce quotient le coefficient a de x* , la somme — 3 étant égale au diviseur 3 pris en signe contraire, on voit que ce diviseur est une racine de l’éqâation x3-\-zx* — gx — 18 = 0.
On trouvera d’une manière semblable que les autres racines sont — • a et —3.
256. Des raisonneraens et des calculs analogues pouvant s’appliquer à une équation , ...
