CHAPITRE VII. 4ot
(a). . ,Xm+pf!m~'+p*Xm~*+ • • • -f Pm.X*4-Pm,^+P»=0,
dans laquelle tous les coefficiens sont des nombres entiers, l’analogie conduit à cette règle générale :
Pour découvrir si un diviseur a du dernier terme pm de l’équation (2) est racine de cette équation j divisez pm par a ; le quotient sera un nombre entier q, ; ajoutez à q, le coefficient pm, de la i re puissance de x, et divisez la somme par a.; le quotient devra être un nombre entier q% ; ajoutez à qt le coefficient pm» de x* et divisez la somme par a; le quotient devra être un nombre entier qs- Continuant ces calculs , vous parviendrez à ajouter au m — iWm' quotient qm—,j le coefficient p, de xm~‘ ; la somme devra être égale au diviseur <t que vous essayez pris avec un signe contraire. Tout diviseur du dernier terme qui satisfait à ces m conditions est racine de l’équation (2), et tout diviseur qui ne satisfait pas à une de ces conditions doit être rejeté.
On ne soumet pas à ces essais les diviseurs 4- 1 , — 1 du dernier terme pm, parce qu’il est plus simple de faire successivement x = -f- 1 et x = — 1 dans l’équation proposée.
On n’essaie que les diviseurs du dernier terme qui sont compris entre zéro et les limites supérieures des racines.
Si l’on veut démontrer directement cette règle générale , on désignera par a. une racine commensurable de l’équation
(2) . . .xra-f-pixm—-f-p^cm-a4-. . . +p.,x*+Pm,x-(-pK=o,
« sera un nombre entier ( n° 2 54 ) , et on aura
(3) . . + • • ■+P'*-***+Pm-,*+pm=o
d’où
P~i=— (.Pm- .+P«-»«+- • .+p.«m 3+P.
Ct
Le quotient de pm par a. est donc un nombre entier qt ; ajoutant à q, le coefficient pm de x, et ,divisant la somme par a, le quotient sera un nombre entier q% , car
*-^rPm~:=—(pm-s+Pm-3» + ...+p»*.m-*+pl»"-3+*m-t)=tl:
4oa ALGÈBRE.
Continuant ces calculs, on sera conduit aux égalités
g«-t — (pm 3+pm ii a-f-, . . -f p,*m-4 -f- am~3) = q9
gs+P»-s^
(.P*-i+Pm-S» + ---+P,»m S + -",4) = ?4
ym-3-fp3 ^ +/>,«•-+-**) = $»*.
Toute racine commensurable de l’équation (2) satisfait donc à ces m conditions.
La réciproque est vraie, car ces m conditions ayant lieu, la relation (3) exprime que x — a rend l’équation (2) identique.
Exemple. Soit l’équation (4)—x' -f- x3 — 'jx' — x -f- 6 = o.
Toutes ses racines positives sont comprises entre o et + 4 ; ses racines négatives se trouvent entre o et — 8 ; on ne doit donc prendre que les diviseurs + i, + 2, -4-3, — 1, — 2,
— 3, — 6, du dernier terme On fait d’abord x=-f-t et x = — 1 dans (4)> et l’on voit que -f- 1 et — 1 sont racines.
Pour essayer le diviseur -4- 2 , on divise + 6 par -4- a ; le quotient est q, =:+ 3; on ajoute à + 3 le coefficient — 1 de x, et la somme divisée par -4- 2 fournit le quotient y, = .1 ; on ajoute à ce quotient le coefficient — 7 de x“; la somme divisée par -f- 2 donne le quotient yj = — 3 ; on ajoute à — 3 le coefficient -h 1 de x3; la somme — 2 étant égale au diviseur -j- 2 pris avec un signe contraire, ce diviseur est une racine de l’équation proposée.
On reconnaîtra de même que — 3 est racine.
De sorte que les quatre racines de l’équation (4) sont + 1 ,
— 1 , -4- 2 et — 3.
On a l’habitude d’essayer tous les diviseurs à la fois comme on le voit ici :
