CHAPITRE VII
a, b,... y b, d’une équation /(x) = o, il est facile d’en déduire une équation p(x)=o, qui ne renferme plus que les racines incommensurables et imaginaires de la proposée; il suffit pour cela de diviser /(x) par le produit des facteurs correspondais x — a , x — hy x — Jb; le quotient. Q ne pouvant
pas renfermer d’autres racines commensurables que a, b,..., b, on cherche quelles sont celles de ces racines qui réduisent Q à zéro. On divise de même Q par le produit des facteurs correspondans à ces dernières racines; et en continuant à opérer d’une manière semblable, on parvient à un dernier quotient p(x) qui n’est réduit à zéro par aucune des valeurs x = a,
x=b x—k-, l’équation p(x) = o ne renferme plus que
les racines incommensurables et imaginaires de l’équation primitive /(x)=o. Le nombre de fois qu’on aura pu diviser par les facteurs x — a,x — b,..., x — k, indiquera le degré de multiplicité des racines commensurables a, b,.. b.
Exemple. Soit l’équation
(i)... x5 — ax4 — i7X3-f 4ox" + 3ox — >52 = 0,
on trouvera que ses racines commensurables sont-f-3 et — 4- Pour déterminer combien de fois les facteurs x — 3, x-f- 4 > entrent dans l’équation (1), on divise son premier membre par le produit x*-f-x — ia de ces facteurs; le quotient égalé à zéro donne q? — 3xa — ax-j-6=o; or les racines commensurables de cette dernière ne peuvent se trouver que parmi les racines commensurablçs de la proposée, et comme —4 ne divise pas le dernier terme +6, il suffit d’essayer -J- 3; on trouve que -f- 3 est racine; divisant x3 — 3x* — ar + 6 par x — ^3, le quotient égalé à zéro donne x=± y/2. Le premier membre de l’équation (1) est donc le produit des facteurs (x — 3)% (x + 4), ( x — y/ 2 ) , (x -J- l/ 2) ; de sorte que cette équation contient deux racines égales à +3, et trois racines inégales —4, + y/a, — V^2.
258. Lorsqu’on a obtenu la valeur exacte <t , d’une des racines de l’équation (1) .'. -f(x) =o, le principe du n° 249
4oG ALGÈBRE. .
conduit plus simplement à la détermination du degré de multiplicité de cette racine.
En effet, d’après ce principe, si l’équation (i) a trois racines égales à a, on aura
/(x) — (x — *)’ X M , /(x) = (x — a)* X iV, /'(x)= (x-*) X P , /'(x)= Ç,
et aucun des polynômes M, N , P, Q, ne sera divisible par x — * ; l’hypothèse x=<* ne les réduit donc pas à zéro; d’ailleurs ces polynômes ne peuvent pas devenir infinis , car ils ne contiennent que des puissances positives de x. Faisant donc x=«, les fonctions f(x) , f'(x) , f" (x) , se réduiront à zéro, et (x) ne deviendra pas nulle.
En général : Pour trouver combien de fois le facteur x—a. entre dans f(x), il suffit de faire xz=a dans les dérivées f (x) , f* (x) , etc. ; le rang de la première dérivée qui nest pas réduite à zéro j indique combien de fois le facteur x — a entre dans y(x)y ce qui exprime le degré de multiplicité de la racine a.
Ainsi, dans l’exemple du n* , pour découvrir 1e degré de multiplicité de la racine commensurahlc 3 de l’équation
(i). . .x5 — ax* — i7x3 + 4°x* + 3ox — 72 = 0,
on forme les dérivées successives de f(x), qui sont
f (x)= 5x*— 8X3 — 5ix*+8ox + 3o, f" (x) = 20X3 — 24x* 102X +80, etc. ;
on y fait x=3; la valeur de f\x) se réduit à zéro, et /"(x) ne devient pas nul; l’cquation (1) renferme donc deux racines égales à -f- 3.
La racine commensurable — \ n’entre qu’une seule fois dans l’équation (1), car l’hypothèse x = — 4 ne réduit pas f (x) à zéro.
Pour trouver les deux autres racines de l’équation (1), i t
suffit de diviser son premier membre par le produit
x3 — ax* — i5x-f-36 des facteurs (x — 3)*, (x-f*4)» le quotient x* — 2 égalé à zéro, donne les racines cherchées -f- i/ 2 , — )/ 2 .
ïyf.
Recherche des racines réelles incommensurables .
25g. Ce qui précède donnant le moyen de supprimer tous les facteurs correspondais aux racines commensurablcs , on est conduit à résoudre une équation numérique à une seule inconnue qui n’a plus que des racines incommensurables et imaginaires.
Nous supposerons que l’équation est ramenée à la forme xm + pxm~' -J- qxm~' -f- . . . . -f- rr* -f- sx + t = o , et nous désignerons son premier membre par/fx).
260. Lorsque deux quantités «, G t mises au lieu de x dans l’équation (1).. .f (x) = Oj donnent des résultats f («), f (G) , de signes contraires , une des racines de f équation est comprise entre * et G. Cette racine est donc réelle.
i°. Supposons que * et C soient tous deux positifs.
Désignons par P la somme des termes positifs de l’équation (i), et par N la somme des termes affectés du signe — ; l’équation (1) deviendra P— N = 0. Or, tous les termes de P et de N sont précédés du signe + , et les exposans de x sont positifs ; par conséquent, lorsque x croît d’une manière continue, sans cesser d’ètre positif, P et N croissent aussi d’une manière continue. *
Cela posé : si x= «* donne un résultat f{a) positif, cette valeur de x rendra P>N; et si x=G fournit un résultat f(G) négatif, la valeur G de x rendra P<]N.
Soit »<^G ; si l’on conçoit que x croît d’une manière continue depuis m jusqu’à G, ces valeurs de x seront positives , les valeurs correspondantes de P et N croîtront d’une manière continue, et ces accroisscmens seront tels que N qui était moindre que P, pour x=et, deviendra plus grand que P, pour x = G-, il y aura donc un instant où N sera égal à P; il existera donc une valeur de x, comprise entre » et G , qui donnera P=N ; cette valeur sera une racine réelle de l’équation (1).
Remarque. La démonstration précédente est entièrement
fondée sur ce que x croissant d’une manière continue depuis a jusqu’à G, les valeurs correspondantes de P et N croissent de la même manière; ce qui exige que x reste constamment positif entre «* et G , car dans le cas où x prendrait des valeurs négatives, les termes de P et N , qui contiennent des puissances impaires de x devenant négatifs, on ne serait plus certain quex augmentant, P et N augmentent.
2°. Quand « et C ne sont pas tous deux positifs , on ramène ce cas au précédent en augmentant toutes les racines de l’équation (i), d’une quantité positive i' plus grande que les valeurs absolues de « et de C; à cet effet, on pose x -f- z, d’où x—z —
Or, d’après cette relation, faire x = « et x=C dans /(x), se réduit à supposer z — m + f' et a=C-J-<T dans/^z — ^), car les résultats de ces substitutions sont toujours /(a) et /(£)• Les valeurs positives a -f- P, G- j-^, de z , substituées — i),
fournissant deux résultats f{») ,f(G) , qu’on suppose désignés contraires, l’équation f(z — è) = o a une racine comprise entre * •+• et £ + mais x = z — f ; l’éqnation (1) a
donc une racine réelle comprise entre * et G.
261. Quand deux nombres », G j comprennent un nombre impair de racines de l’équation (1) — f(x)= o, les hypothèses x=ttj x — Gj donnent deux résultats /"(«), f(y) , qui sont de signes contraires. Lorsque • et G ne comprennent pas de racines ou en comprennent un nombre pair , les résultats f (*)jf (G), sont de même’ signe. En effet :
1®, Si les nombres a, G, comprennent trois racines réelles a, b, c, de l’équation (1), on aura
L’by pothèse x .= a donnera
/(«) = (.- a) (a - b) (a- c) X <p (a) , et x = C donnera
Soit a > G-, les racines a,b,c, seront moindres que a et plus
