CHAPITRE V II

grandes que G; les facteurs * — a, * — b, * — ç, étant positifs , leur produit sera positif; les trois facteurs G — a, G — b, G — c, étant négatifs , leur produit sera négatif ( n° 16, 3°). D’ailleurs, a et G ne comprenant que les trois racines a, b , c, de l’équation (1), les valeurs de <p («) et (G) sont nécessairement de même signe; car autrement, il existerait une valeur ê de x, comprise entre a et G , qui réduirait p (x) à zéro, et qui par suite réduirait /(x) à zéro, puisque tp (x) est un facteur de/'(x); l’équation (1) aurait donc une quatrième racine comprise entre * et G, ce qui est contre l’hypothèse ;/(«) et/ (£), sont donc de signes contraires.

Ce raisonnement convient évidemment à un nombre impair quelconque de racines comprises entre a et G.

2“. On prouvera de même que si * et G ne comprennent pas de racines de l’équation (1), ou en comprennent un nombre pair, /(«) et /(£) seront de même signe.

262. i°. Lorsque deux nombres etj G, substitues pour x dans l’équation (1 )../(x) = o, fournissent des résultats f (u) , / (G) , qui sont de signes contraires , il tombe un nombre impair de racines réelles de l’équation ( I )., entre u et G; car s’il ne tombait pas de racine entre « et C, ou s’il en tombait un nombre pair, il suit du principe du n° 261 (20), que les résultats/(a), f[G ), seraient de même signe; ce qui est contre l’hypothèse.

2°. Quand deux nombres *, ?, substitués pour x dans l’équ,ation (1). . . f (x) — o fournissent deux résultats /(«).,/ ( G ), de même signe j il n’existe pas de racine réelle de l’équation (l) j entre u et £, ou il en tombe un nombre pair ; car si a et G comprenaient un nombre impair de racines réelles de l’équation (i), il suit du principe du n° 261 (i°), que les résultats /(*•), f(G) seraient de signes contraires, ce qui est contre l’hypothcse.

Remarque. Les deux principes que nous venons d’établir étant d’un usage continuel pour trouver les racines incommensurables il serait à désirer qu’on pût les démontrer directement. Mais comme cela n’est possible que dans le cas particulier où toutes les racines comprises entre les nombres substitués sont inégales, cette démonstration serait sans importance.

ALGEBRE.

4io

a63. Toute équation de degré impair a au moins une racine, réelle de signe contraire à celui de son dernier terme. : - ,

En effet; supposons d’abôrd que le dernier terme soit négatif dans l’équation proposée s

(1) . . . xm -\-p c"~: 1 yx"1- s + • . . -{-rxl -f- sx — t—o.

L’hypothèse x=o fournit un résultat négatif — t\ d’ailleurs en mettant dans le premier membre pour x la limite supérieure L des racines réelles positives de l’équation (i) , on obtient nécessairement un résultat positif. L’équation (i) a donc au moins une racine réelle positive comprise entre réro et L.

Quand le dernier terme est positif, l’équation proposée est de la forme

(2) . . .xm -f- pxm~' -f- qxm~2 + rx“ + sx+ t=zo.

Pour ramener ce cas au précédent, on change les signes des racines en remplaçant x par — x , ce qui donne

xm — pxm~' -f- qxm~* — ... — rx*-f-sx — t = o,£n° 226, 7°).

Or , cette dernière équation ayant son dernier terme négatif, on vient de prouver qu’elle a au moins une racine réelle positive a; l’équation (2), qui a ses racines de signes contraires, a donc au moins une racine réelle négative — a.

264. Toute équation de degré pair dont le dernier terme est négatif. a au moins deux racines réelles , Hune positive j l’autre négative. Eu effet ; soit l’équation

(3) . . . x”" + px“— * -f ?x,m— + . .. + rx* + sx— < = o.

L’hypothèse x = o fournit un résultat négatif — <; et on obtient un résultat positif en mettant pour x , dans le Ier membre , la limite supérieure L des racines positives. L’équation (3) a donc au moins une racine réelle positive comprise entre léro et -f-L .

Si l’on change x en — x, les racines changeront de signe et l’équation (3) deviendra

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