CHAPITRE TII

x*" — pxV"~l q,v%n 7’ — .. . +w*-~ ~8X — tzx o.

Cette dernière ayant son dernier terme négatif, on tient de prouvér qu’elle a au moins une racine réelle -positive -f* « ; l’équation {3) a dônc au moins une racine réelle négative — «.

265. Une équation de degré pair dont le dernier terme est positif j n a pas de racine réelle , ou elle en a un nombre pair.

Eu effet; soit l’équation

(1) ... x,m -f- pxtm~ 1 -f- qx,m~!‘ + rx* -f- itx ■+■ t — o ,

ai l’on désigne par L la limite supérieure de ses racines positives, les hypothèses x = o, x= L, donneront deux valeurs positives du premier membre^ Par conséquent, cette équation n’a pas de racine réelle positive , ou elle en a un nombre pair (n° 262, 2°).

Changeant x en — x dans (1), et représéntant par N' le plus grand coefficient négatif de là transformée * *

(2) . . . x*"1 — px?m 1 -f- qxlm~i — . . . -J- rx‘ — sx 4* i ■— 9 t

les hypothèses x = o , x=N'4- i» fourniront deux résultats positifs. Par conséquent , T’ équation (2) n’a pas de racine réelle positive , ou elle en a un nombre pair (n° 262 , 20) ; et par suite , l’équation (1) n’a pas de racine réelle négative, ou elle en a un nombre pair.

Pour 'concevoir comment l’éqUation ( 1 ) peut n’avoir que des racines imaginaires, on n’a qu’à multiplier des facteurs du second degré de la forme

x* — mx + ï’+C1, x1 — 2a'x 4- a,“ 4- G'* > etc. ,

et en égalant le produit à zéro, l’équation qui en résulte est de degré pair, son dernier terme est positif, et toutes scs racines sont imaginaires , puisqu’elles sont fournies par les équations

x* — 2*x 4- «* 4- — o , xa — 2<*'x 4- 4- C** = o , etc. ,

qui donnent

x — etdzSy/—!, x= , etc.

D’après les propriétés des n°* 263 , 264 et 265 , les racines imaginaires d’une équation de degré quelconque sont toujours en nombre pairj une équation qui n’a que des racines imaginaires est nécessairement de degré pair et son dernier terme est positif ; enfin lorsqu’on a ôté toutes les racines réelles d’une équation , l’équation résultante doit être de degré pair et doit avoir son dernier terme positif.