CHAPITRE I. u

sous les autres; la somme des produits partiels, réduite à sa plus simple expression, a donné le produit total. .

Lorsqu’un polynôme renferme plusieurs monomes affectés des mêmes puissances de la lettre par rapport à laquelle on veut ordonner , on réunit tous ces monomes en un seul terme, et on ordonne chacun des polynômes , qui sert de coefficient à cette lettre, par rapport à une autre lettre.

Ainsi , pour ordonner le polynôme

ai5a* — Sba3 -f- b3a? — 3 A’a* — 2a5, par rapport aux puissances décroissantes des lettres a et b, on écrit

Sous cette dernière forme , chaque puissance différente de a est considérée comme un seul terme ; de sorte que (i3 — 2)0* est le premier terme.

En général, un polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de a , est de la forme pam -f- qam~‘ ■+• ram~ ’ -{-etc. ; les coefficiens p, q,r, etc., des diverses puissances de a , sont indépendans de a; ils peuvent désigner des monomes ou des polynômes; le i,r terme est pam, le 2e terme est qam~\ etc.

Exemple. Soit proposé de calculer le produit de

ba1 -f- «■*-{- 6*a3 — ba* 6*al, par — a3 — aa6“ — a3 b -{- b a'.

On pourrait former le produit demandé en multipliant successivement chaque terme du multiplicande par chaque terme du multiplicateur, mais on parvient plus simplement au résultat, en ordonnant les deux facteurs suivant les puissances croissantes ou décroissantes de a et b.

Si l’on ordonne les deux facteurs suivant les puissances croissantes de a et b, ils deviennent

(6 -{- 6*)a3 -{- ( 1 — b -{- b')a* et ( b — b*)a% — ( 1 b)a3.

Pour faciliter les calculs , on peut poser b + b’ =z p , 1 — b b* — q , b — 6* =zm, l-f-b = n.

La question se réduit à multiplier pa ' -f -qa* par ma*—na3\ le produit est pma1 -f- (qm — pn)a6 — qna1.

ALGEBRE.

On remplace m , n , p et q par leurs valeurs, et on effectue les produits pm , qm,pn , qn ; on trouve ainsi que le produit demandé est

(1 — b')b'as — (4 — b -+- b'^b'a* — ( i -f- b^a7.

18. Pour former le produit de planteurs polynômes j on les ordonne par rapport à une même lettre ; on multiplie ensuite le Ier polynôme par le 2e, et on effectue toutes les réductions possibles; le produit des deux premiers polynômes, multiplié par le troisième, donne le produit des trois premiers polynômes; et ainsi de suite.

Par exemple, pour calculer le produit des quatre facteurs a — b, a" -f- ab -f- A” , a-\-by a” — ab + b* , on multiplie d’abord a — b par o3 -+- ab -f- b‘ ; le produit a ' — A1' multiplié par a b , détermine le produit a*+ aPb — ab3 — £* des trois premiers facteurs; et la multiplication de a* -f- a' b — ab 3 — è*, par — ab -f- 6% donne le produit a6 — b6, des facteurs proposés.

On trouverait de même que le produit des trois binômes a -f- bx , a -(- b'x , a"-\-b“x, est

aû! a' —p {b(/ au -f- br aa" — f- b"ao')x ■+• [ab' b' -f- il' b b" -f- a bb') x 3 -f- bb' b' .

On voit que pour obtenir le coefficient de la ire puissance de x, dans ce produit, il suffit de multiplier successivement le coefficient de la ire puissance de x dans chaque facteur, par le produit des ternies indépendans de x dans chacun des autres facteurs; la somme des produits ainsi formés, exprime le coefficient demandé.

Cette propriété convient à un nombre quelconque de facteurs de la forme a-\-bx ex7 dxf etc.

19. Lorsque deux facteurs et leur produit sont ordonnés par rapport à une lettre > le premier terme du produit total est le produit du l” terme du multiplicande par le Ier terme du multiplicateur.

En effet , si l’on ordonne par rapport aux puissances croissantes d’une lettre x , le i*r terme de chaque facteur sera celui