CHAPITRE VII

f(x) deux résultats de signes contraires, la plus petite valeur entière approchée de la racine R comprise entre 5 et 6 est 5.

Si l’on veut obtenir cette racine à moins d’un dixième d’unité, on mettra successivement pour x dans x3 — ti2(x — 4) > les valeurs,

qui diffèrent entre elles de o, i ; et comme les hypothèses x~5, x = 6, ont donné pour y (x) deux résultats de signes contraires, on obtiendra nécessairement un changement de signe dans les résultats de deux de ces substitutions consécutives. On trouve en effet, que x=5,4 et x=5,5, fournissent deux résultats de signes contraires; la racine R tombe donc entre 5,4 et 5,5. De sorte que chacun de ces nombres exprime R à moins d’un dixième d’unité. '

Si l’on veut obtenir R à moins d’un centième d’unité, on substituera pour x, dans x3 — na(x — 4)> les nombres

5 , 4 o , 5,4 » , 5,42, 5,43 , etc • ,

qui diffèrent entre eux de 0,01 , et l’on reconnaîtra que la racine cherchée tombe entre 5,42 et 5,43 ; de sorte que chacun de ces nombres exprimé R à moins d’un centième d’unité.

Continuant ces calculs, on trouvera que la racine cherchée est 5,42758 etc.

Remarque. Ce procédé donnera toujours le moyen de calculer une des racines comprises entre et et£ , avec autant d’exactitude qu’on voudra.

Méthode de Newton.

269. 2' Méthode. Quand on connaît une valeur suffisamment approchée d’une racine incommensurable, on peut quelquefois calculer cette racine avec un plus grand degré d’approximation, par un procédé qui est dû à Newton.

Soit a. la valeur à moins d’un dixième d’unité d’unç racine réelle incommensurable R de l’équation (1). . ./(x) =6.

4i4 ALGÈBRE.

Pour obtenir une plus grande approximation , on fait x=-a.-\-z, et z a autant de valeurs réelles que mais la valeur particulière de a que l’on veut calculer, est moindre que car elle

exprime ce qu’il faut ajouter à a. pour obtenir la racine R. Nous ne considérerons que cette valeur particulière de z.

Cela posé : d’après ce qu’on a vu (n° 25i), si l’on fait x=a + z dans l’équation (i) . ./"(x) = o, elle deviendra

' /(-)+*/'(«) + î «•/"(-) +••■ + *" = « j d’oi.

La valeur de z étant moindre que les puissances s*, a3, etc., sont respectivement moindres que —— , — — , etc.

V 1 IOO IOOO

On conçoit donc que dans la relation (2) , la somme des termes qui contiennent a*, z3,..., am, sera souvent moindre que

— : et dans ce cas la relation

IOO

fournira une valeur de a à moins de — d’unité. On calculera , 100

donc le quotient de la division de — /"(a) p ar f(<t) avec deux décimales ; ce quotient ajouté à « , donnera une valeur G de R

qui sera approchée à moins de d’unité.

Pour obtenir une plus grande approximation, on fait ;

% est moindre que et l’équation (i) conduit k

<«•••—?§ + ïH**rm+-+ «-}•

z étant moindre que les puissances a*, a3, etc.; -sontres-