CHAPITRE VII

pectivcment moindres que —-5, etc.; et par suite, la somme des termes qui suivent 7=7 êst généralement moindre

que — - — ; dans ce cas ; la formule 1 1 00*

donne 2 à moins de De sorte qu’en calculant le quotient

de — f (G) par f'(G) avec quatre décimales , et en ajoutant ce quotient à G , le résultat fournit une nouvelle valeur y de R

qui est approchée à moins de — — .

En continuant ainsi, on voit que dans l’hypothèse actuelle, on obtient à chaque opération le double du nombre des décimales qu’on a trouvées dan? l’opération précédente.

f fx)

La formule (6)... 2 = — J^(x) conduisant aux mêmes résultats (3), (5), etc., quand on donne successivement à a; les valeurs a, G, etc., on peut établir celte règle générale :

Soit a. lu valeur , à moins d’un dixième d’ unité, d’une racine réelle incommensurable R de l’équation (1).. .f(x) = o; pour obtenir des valeurs plus approchées de cette racine , faitesx=a dans (6) et calcules 2 avec deux décimales j ajoutes cette valeur approchée dç z à *; la somme sera une 2* valeur G de R approchée à moins de o,oi. Faites x = G dans (6), et calculez z avec quatre décimales ; ajoutes cette nouvelle valeur approchée de s à G; la somme sera une 3e valeur y de R> approchée à moins de 0,0001. Et ainsi de suite. ,

Lorsque les quantités qu’on néglige dans les formules (a),

(4), etc., ne sont pas respectivement moindres que etc.r

la méthode précédente est en défaut. Ces valeurs des quantités qu’on néglige n’étant jamais connues d’avance , il est indispen—

sable de vérifier à chaque opération si les décimales que l’on conserve dans les valeurs de Zj fournissent les valeurs de la racine cherchée R avec l’ approximation indiquée.

A cet effet , on peut faire usage du procédé suivant :

Pour découvrir si une valeur R' de R calculée avec n décimales, ne diffère de la valeur exacte de R que d’une quantité

moindre que — — ; , on fait successivement x = R' -I — ,

1 io" io1*

x = R' — dans f (x) ; si les résultats sont de signes con-

traires, R sera compris entre ces deux valeurs de x, de sorte

que R' exprimera R à moins de Si les résultats sont de

même signe, la méthode de Newton sera en défaut.

Exemple. Soit toujours l’équation,

x3 — i lar -f- 448 = o; on a /(x) = x3 — 1 12 (x — 4), /'(x) = 3x* — 1 12.

• Les hypothèses x = 5,4, x = 5,5, donnant deux valeurs de/(x) qui sont de signes contraires, il tombe une racine R de l’équation proposée entre 5,4 et 5,5 ; de sorte que la valeur de R à moins d’un dixième d’unité est « = 5,4-

Pour obtenir la racine R à 0,01 près , on fait x=5,4 dans

/ç f) Æ3 — lia (x— 4) * f{x) 3x* — 112 ’

et ron trouve z = —jCfa = o,oa etc.

Conservant les deux premières décimales de z, on ajoute 0,02 à 5,4 , ce qui fournit la 2* valeur approchée C = 5,4a de R.

Pour s’assurer que 5,4a exprime R à moins de 0,01 , on fait successivement x = 5, 41 etx=5,43 dans la valeur x3 — 1 ia{x — 4) de /(x), les résultats étant de signes contraires, la racine R tombe entre 5,4 1 et 5,43 ; de sorte que 5,4a exprime R à moins de 0,0t.

Si l’on veut une plus grande approximation , on fera x=5,4a