CHAPITRE VII

dans la formule (i), et on calculera s avec quatre décimales, ce qui donuera z = o, oo75, R = 5,4275.

Cette râleur de R est approchée à moins de o,oooi; car en faisant x = 5,4274 et x = 6,4276 dans f(x), on obtient deux résultats de signes contraires.

Méthode des substitutions successives de Lagiunoe.

270. 3* Mémo de. Lorsqu’on saÿ 'que deux nombres entiers consécutifs ne comprennent qu’une seule facine d’une équation, la méthode du n° 161 fournit le moyen de calculer cette racine avec une approximation donnée. En effet, soit toujours l’équation

dans laquelle x = 5 et x=6 ont fourni deux résultats de signes contraires, et supposons qu’on sache qu’il ne tombe* qu’une seule racine R entre 5 et 6.

Pour approcher davantage de cette racine, on pose

La substitution de cette valeur de x dans l’équation (1) conduit à ,

Cette équation n’admet qu’une seule valeur réelle de z plus grande que l’unité; car autrement il tomberait plus d’une valeur réelle de x entre 5 et 6; ce qui est contre l’hypothèse.

Pour obtenir la valeur entière approchée * de 1 , il suffit de donner successivement à s , dans le premier membre de l’équation (2), les valeurs 1 , 2,3, etc. , on obtiendra nécessairement deux résultats de signes contraires avant de parvenir à la limite supérieure des racines positives de l’équation (2); car deux de ces substitutions consécutives ne pouvant comprendre qu’une seule racine de l’équation (2), tant qu’on trouvera des résultats de même signe , les substitutions ne comprendront aucune racine, et quand on arrivera à substituer les deux nombres en-

tiers consécutifs <jûi comprennent la valeur* positive de z , o'n en sera averti par deux résultats de signes contraires.' On trouve ainsi que z est compris entre 2 et 3. On fait

dans l’équation (2) , ce qui conduit à

(3) . . . i3z,3 — 23z,* — 4,zi — i3 = o;

et comme ou est certain que s, n’a qu’une seule valeur réelle plus grande que l’unité, on obtiendra la plus petite valeur entière approchée de a, en donnant successivement à z, les valeurs 1 , 2, 3, etc.; les valeurs correspondantes du premier membre de l’équation (3) étant —64 , — 83 , + 8 , etc. , la plus petite valeur entière approchée de z, est .2. ,

»* Continuant ces calculs, on trouve

z, = 2-| — , *, = 1 -J — , z3= i<H — > etc. ;

Zj Z-3 Z4

ce qui conduit à la valeur de R en fraction continue.

Si l’on s’arrête à «3= ïQ* la réduite correspondante sera

trop petite , mais l’erreur sera moindre que on que

o,oooo5 etc.; calculant le quotient delà division de 749 par i38,avec quatre décimales, on trouve que la Valeur de R, à moins de 0,0001 , est 5,4275.

En général , lorsqu’on a trouvé la plus petite valeur entière approchée a. d’une racine ihcomnien.su rallie positive R de l’équation (i).../(x) =0, et lorsqu’on sait de plus qu’il ne tombe que cette racine entre * et <t-f- 1 , la méthode 'précédente fournit le moyen de calculer cette racine avec. autant d’exactitude qu’on veut. On fait x = « H — dans £«)? ce qui conduit

à une transformée (2) . . . ç (z) = o; cette dernière a nécessairement une seule racine réelle positivé plus grande que l’unité, car il ne tombe qu’une valeur de x entre * et « + 1. L’équa-

tion (2) n’ayant qu’une racine plus grande que l’unité, on obtiendra la plus petite valeur entière approchée G de cette racine, en donnant successivement à z les valeurs 1 , 2,3, etc. On

fera *==£ + — dans (2); cela donnera une transformée en z,

qui n’aura qu’une racine réelle plus grande que l’unité; on calculera la plus petite valeur entière approchée y de z,; et ainsi de suite. La racine incommensurable R, comprise entre « et a-f- 1 , sera exprimée par une fraction continue indéfinie; et par conséquent , on pourra en déduire la valeur de cette racine avec une approximation donnée (n° 1 5 c)).

Remarque. La méthode de Lagrange conduit ordinairement à des calculs plus longs que celle de Newton, mais elle a sur cfette dernière l’avantage de ne jamais être en défaut.

271. Lorsqu" en substituant pour x des nombres entiers consécutifs dans une équation du m‘imt degré f (x) = o, on trouve m — 1 changement de signes dans les valeurs correspondantes de f(x) j on est certain que les m racines de cette équation sont réelles j et la méthode de Lagrange fournit le moyen de calculer les valeurs de ces racines avec une approximation donnée.

En effet, les m — 1 change mens de signes de/(x), indiquent la présence de m — 1 racines comprises entre les nombres qui ont fourni des résultats de signes contraires; ces m — 1 1 racines sont donc réelles» et par suite la m“m‘ racine est nécessairement réelle (n° 226, 5°). Or, on connaît les plus petites valeurs entières approchées de m — 1 racines, et l’on est certain qu’il ne peut tomber plus d’une racine entre deux nombres entiers consécutifs qui ont fourni deux résultats de signes contraires; on pourra donc approcher autant qu’on voudra de ees m— 1 racines, par l’une quelconque des méthodes des n°* 268 et 270 , et on en déduira la miim‘ racine (n° 226, 5°). .

Exemple. Reprenons l’équation x * — n 2X 448 = ® » et pour faciliter les substitutions, mettons son premier membre sous les formes i3 + ii2(4 — x) , x3 — 1 1 2 (r — 4)- Lorsqu’on y met successivement pour x les valeurs ,

ALGEBRE.

4so

®» * » *i 3, 4,. 5, 6, 7*otc. ,

les valeurs correspondantes du premier membre sont

~h 44®» + + 2®2> + *®9» + ®4> + >3» — ®» +7» etc.

L’équation proposée a donc une racine comprise entre 5 et 6, et une autre entre 6 et 7 (n° 260).

On a vu (pages 41 3, 4*7 et 4*8) que la valeur approchée de la première racine est 5,427 etc.

On trouvera de même que la deuxième racine est 6,768 etc.

La somme de ces deux racines étant 12, 195 etc. , la troisième racine est — 12,195 etc.

272. Lorsqu’en substituant dans le premier membre d’une équation du mlim‘ degré (1). . . -f(x) =0, les nombres entiers o, 1 , 2,3, etc., o, — 1 , — 2, — 3, etc. , compris entre les limites supérieures des racines positives et négatives de celte équation, les résultats ne présenteut pas m — 1 changemens de signes, on ne connaît pins le nombre des racines réelles de l’équation (1); car il arrive quelquefois que deux nombres consécutifs qui fournissent deux résultats de même signe comprennent un nombre pair de racines réelles , et que deux nombres qui fournissent deux résultats de signes contraires comprennent un «ombre impair de racines réelles.

On évite cet inconvénient en calculant une quantité /'moindre que la différence entre deux racines réelles quelconques de l’équation (1) proposée, et en substituant successivement pour x tous les nombres

o , /, 2/, 3/, etc. , o , — /, — 2/, — 3/, etc. ,‘

compris entre zéro et les limites supérieures des racines positives et négatives de l’équation (1). En effet :

i°. Lorsqu’on obtiendra deux résultats de signes contraires, il y aura une racine réelle de l’équation (1) comprise entre les deuxnombres»/, «/ + /, qui auront fourni ces deux résultats j et il n’y en aura qu’une, car pour qu’il y en eût deux, il faudrait que leur différence fût moindre que la différence