CHAPITRE VII. 4*i

i entre les deux nombres substitues, ce qui est contre l’hypothèse. ,

2°» Quand deux substitutions ni, ni- f-<P, fourniront deux résultats de même signe, il n’y aura pas de racine de l’équation (i) entre ni et n/'-f- car s’il y en avait, elles seraient en nombre pair, il y en aurait donc au moins deux, ce qui est impossible.

On obtiendra donc ainsi autant de changemens désignés dans les résultats des substitutions, indiquées, qu’il y a de racines réelles dans la proposée; ce qui indiquera la présence de toutes ces racines, et ce qui donnera leurs valeurs approchées à moins de i.

Si i était plus grand que l’unité, on trouverait facilement les plus petites valeurs entières approchées de toutes les racines réelles de l’équat ion/ (x) = o ; car il ne tomberait qu’une seule racine entre les deux nombres entiers consécutifs qui substitués dans f (x) auraient fourni deux résultats de signes contraires, et par conséquent , une quelconque des méthodes des n°’ 268 et 270, fournirait les racines incommensurables avec une approximation donnée.

Mais le procédé que nous donnerons (n° 296) fournissant

toujours une valeur ^ de i moindre que l’unité, dans laquelle

« et G sont des nombres entiers connus , on peut ramener la question à substituer des nombres entiers qui different de et qui sont tels que deux substitutions consécutives ne peuvent jamais comprendre plus dune racine. En effet, si les différences positives, entre les racines réelles a, b, c, etc., de l’équation / (1). . ./'(r) = o, sont a — b , a — c, etc., on aura

^<a — b, — cj e,;c>> d’où ct<aC — bC, — cC, etc.

Par conséquent, en formant l’équation dont les racines sont aC, bC, cC, etc., le nombre entier et sera moindre que la plus petite des différences entre les racines a£ , bC , cC , etc., de cette nouvelle équation ; il suffit dope de chercher l’équation dont.

les racines sont égales à celles de l’équation (i) multipliées par

C; ce qni revient à faire y=Zx\ la substitution de la valeur

de x, dans(i), fournira l’équation demandée (2)...F(y) = o; cette dernière aura autant de racines réelles que la proposée, caries valeurs de y déduites de (2), divisées par G, fourniront les racines de Péquation (1). . . f (x) = o.

Le nombre entier a étant moindre que la plus petite des différences entre les racines réelles de l’équation {2), pour obtenir autant de changemens de signes dans les valeurs de F(<y) qu'il y a de racines réelles dans l’équation [2), et pour trouver toutes ces racines à moins de ce unités , il suffit de donner successivement à y les valeurs o, a, 2*, 3a, etc., o, — «, — 2a, — 3«, etc. j depuis zéro jusqu’aux limites supérieures des racines de l’équation (2) y les valeurs correspondantes de F(jy) présenteront autant de changemens de signes que l’équation (2) renferme de racines réelles, car deux substitutions consécutives ne peuvent -jamais comprendre plus d’une racine de l’équation (2).

Connaissant chaque racine réelle à moins «le *» unités, on obtiendra les plus petites valeurs entières approchées de ces racines en substituant successivement pour y les nombres entiers compris entre chaque couple de valeurs de y qui ont donné des résultats de signes contraires; èt ensuite l’une quelconque des méthodes des n05268et 270 fournira toutes les racines réelles de l’équation (2) avec une approximation donnée y. Ces valeurs dej' divisées parC, donneront les racines de l'équartion f (x)=o.

à moins de g d’unité

Ier Exkmpue. Soit l’équation (i)... -c! — jx-j-j = o.

On verra (n° 296) que la fraction ~ est moindre que la plus petite des différences entre les racines de l’équation (1). On

fera donc y = /\jc , d’où x= ^ ; la substitution de cette valeur