CHAPITRE VII

Exemple. Soient les équations

x3 — ax* — x •+■ a = o ,

x3 — 28x-f*48 = o, x^-Jt-x3 — 9X* — x -f- 6.= o.

Le plus grand commun diviseur entre leurs premiers membres étant x — 2, l’équation x— 2=eo fournit la valeur x=a, qui satisfait aux équations proposées.

Et en effet, ces équations reviennent à

Recherche des rapines égales incommensurables.

2,j5. Lorsqu’apr.ès "avoir été d’une équation toutes ses racines commensurables;. on est parvenu à une équation /'(x) = o-qui ne renferme plps que des racines incommensurables et imaginaires, la recherche des racines incommensurables es ige que l’on substitue des nombres qui diffèrent entre eux d’une quantité t" moindre que la plus petite des différences entre les racines réelles de l’équation proposée; ce qui n’est praticable que lorsque toutes les racines sont inégales, car la différence entre deux racines égales est zéro.

On doit donc chercher d’abord si l’équation proposée renferme des racines égales. A cet effet, on calcule le plus' grand commun diviseur entre le premier membre f(x) et sa dérivés

Quand f(x) et f'(x) n’ont pas de commun diviseur en xi f équation /(x) = o n’a que des racines inégales j (n° 24g). ‘

Lorsque f (x) et f (x) ont un plus grand commun diviseur en x , l’équation f (f) — o a des racines égales (n° 24g) , et on ne peut plus calculer directement ses racines incommensurables. Nous allons faire voir que dans ce casj le principe du n” 24g fournit le moyen de faire dépendre la résolution de l’équation f (x) = Oj de celle de plusieurs équations d’ un degré moindre qui n’ont que des racines inégales et dont les, racines sont celles de la proposée.

4a6 ALGÈBRE.