ir* Méthode. Soit l’équation donnée

(1). . . xm + pxm~‘ -\-'qx’n~t + . . , + sxî+ tx + u = o,

et supposons pour fixer les idées qu’elles renferme et racines égales a a, G racines égales h b , y racines égales à c, et des racines inégales, d, e; son premier membre y"(x) sera identiquement égal au produit des facteurs (x — <i)‘, ( ’x — 6)^, (x — c)*, x — d, x — e; de sorte .que

Or, d’après le principe du n° 249 , le plus grand diviseur commun à /"(x) et f (x) est

Divisant/- (x) par (x) , on obtient un quotient

Le plus grand diviseur commun à tp (x) et Q, , est X = (x — a) (x — b) (x — r c).

La division de Q, par X fournit le quotient X, = (x — d) (x — e).

La recherche des racines de l’équation f (x) = o, ne dépend donc que de la résolution de deux équations X=o, Xi=o, qui ne renferment que des racines inégales.

L’équation X=o détermine toutes les racines qui entrent plusieurs fois dans f (.x) — o; et l’équation X,=o donne les racines inégales de f (x) = o.

Or, en supposant toujours que i' est connu (page 272), on sait trouver les racines réelles inégales d’une équation qui 11’a pas de racines égales; on est donc en itat de déterminer toutes les racines réelles d’une équation numérique quelconque.

ExEMrl.E. f (x)=x6 2X5 4XH-1 2X3 3x4— 1 8x-|- I 8.

On trouve ç (x) = x* — 3, Q,=x* — 2x3 — x*-f-6x — 6, X=X* 3, X, = X“ 2X-f-2.

CHAP1TKE VII.

L’équation x“ — 3 o , donne les racines égales ■+• [/3,

— \/3, def(x) = o; et l’équation x* — 2X-f-2 = o, fournit les racines inégales, i + V — > , > — V — i , de/(.r) = o.

Pour déterminer Le degré de multiplicité de la racine + [/3, on fait x.= -f \/3 dans les dérivées f'(x) , /"(x), «te., jusqu’à ce qu’on en obtienne Une qui ne se réduise pas à zéro (n° 258). On trouve que x = [/3 rend nulley'(x) et ne réduit pas y (x) à zéro. La racine + 3 n’entre donc que deux fois

dans l’équation proposée.

On verrait de même que la racine — \/ 3 entre deux fois dans y (x) = o.

On a donc v

= {(x-V/3;(r+V'3)}Vx-.-V/-i)(x-i+V/^i)

= (xa — 3)» x (x’ — ax-t-a).

On pouvait parvenir plus simplement au même résultat; car le plus grand commun diviseur <f (x) entre f{x) et f'(x) étarrt x1 — 3, ou (x -4- V/3) (x — V^3), il résulte du principe du n° 249 que chacun des facteurs X -f- [/3, x — \/3, entre deux fois dansy(x).

Dans cet exemple, l’équation X = o, qui renferme les racines égales de'la proposée, n’étant que jlu second degré, on a pu en déduire les valeurs exactes ■+■ 1^3, — V^3, des racines égales incommensurables de l’équation f (x) = o ; et le procédé du n° 258 a fait connaître le degréde multiplicité de ces racines.

Mais quand l’équation X = o est d’uu degré supérieur au second, il n’est plus possible d’obtenir les valeurs exactes de scs racines incommensurables; de sorte que le procédé du n° «58 ne peut plus servir à déterminer leur degré de multiplicité. Nous allons indiquer une méthode qui offre le double avantage de faire dépendre la résolution de l’équation proposée d’autres équations les plus simples possibles, qui indiquent d’avance le degré de multiplicité des racines de la proposée.

jflBl • '

ALGEBRE.

277. 2* Métuode. Désignons par X, le produit dps facteurs premiers x — a, , x — A, , . . . , x — k , , qui n’entrent qu’une fois dans f (x) ; par X, le produit des facteurs premiers x — a,, x — A, , . . . , x — A, , qui entrent deux fois dans /"(x) ; par X3 le produit des facteurs premiers x — <73, x — A3,.. ,x — A3, qui entrent trois fois dansy(x) ; et ainsi de suite. Nous aurons

X,=(x — n,)(x — A,)... (x— A,), X,=(x— (x— A,)...(x— A,), X3=(x — a3)(x— A3)...(x— A3),X4=(r— a4)(x — ^)...(x — A4),etc. /(x) = X, X X,* X X33 X X44 etc.

Le procédé du n° 276 conduirait aux deux équations X, = o , X,X3X4 etc. == o.

Nous allons voir comment on parvient aux équations plus simples,

(<)... X, = 0, X» = o, X3 = o, X4 = 0, etc.

A cet effet, on cherclie le plus grand commun diviseur ç (x) entre /"(x) et/"'(x); il résulte du principe du n° 249 que

P (x) = X»X3*X43 etc.

Opérant sur p (x) comme on a opéré sur /(x), on cherche le plus grand commun diviseur <pt (x) entre (x) et sa fonction dérivée. On a p, (r) = X$X4* etc.

On cherche de même le plus grand commun diviseur p, (x) entre <p, (x) et sa fonction dérivée. On a <p, (x) = X4 etc.

Continuant ces calculs , on parviendra toujours à une fonction qui ne contiendra plus de facteurs égaux, et on en sera averti , car il n’existera pas de commun diviseur entre- cette fonction et sa dérivée.

Si cette fonction est (x), on sera certain que f(x) ne renferme pas de facteurs égaux élevés à des puissances supérieures à la quatrième; de sorte que dans ce cas

Pi (x) = X»X4* , ç, ( x) = X4.

On connaît donc X4.