CHAPITRE VII

Pour trouver les autres facteurs X,, X», X3, on divise successivement chacune des fonctions connues f(x), ? ta) , ?, ta). ?, (x) , par la suivante; ce qui fournit des quotiens

Q, = X,X»X3X4, Q » = X,XjX4, Q3 = X3X4.

■ Oh sait d’ailleurs que ?» (x) = X4.

On divise ensuite chacune des fonctions Qt, Q», Q3, ?» ta), par la suivante; les quotiens' sont les fonctions demandées X,,

Lorsqu’on apra ainsi calculé les fonctions X,, X», X3, X4, on pourra obtenir les racines incommensurables des équations

puisque chacune de ces équations n’a que des racines inégales; et l’on connaît d’avance le degré de multiplicité de ces racines, car les racines de X, = o entrent une seule fois dans l’équation (1). . . f(x) = 0, celles de X» = o entrent deux fois dans (1), celles de X3 = o entrent trois fois dans (1) ; et ainsi de suite. Exemple. Soit

/(x) = x* — ax5 — 4X< + 1 2x3 — 3x* — i8x + 18 = 0.

Le plus grand commun diviseur entre f {*)■$& f (x) est ? (x) =x* — 3. La fonction ? (x) n’ayant pas de commun diviseur avec sa dérivée ax, les facteurs de ? (x) «ont inégaux » ils entrent deux fois dans ^(x) , et f {x) ne renferme pas de facteurs premiers élevés à des puissances supérieures à la seconde, car autrement ? (x) renfermerait encore des facteurs égaux.

On a donc

Pour obtenir X,, on divise d’abord /(x) Par ? ta), «e qui

fournit le quotient exact

Q, = X,X» = x* — ax1 — x* + 6x — 6.

La division deQ, par ? (x) donne le quotient X,=x2 — ax-J-a. L’équation X, = o, détermine les racines inégales

i + l/— 1, i— 4 , de/(x) = o.

ALGEBRE.

L’équation X, = o, fournit les racines -f- l/3, — V^3, qui entrent deux fois dans' f (x) = o.

Ce qui s’accorde avec les résultats obtenus par la ir* méthode. 2* Exemple. Soit

y(r) = i8 — i3x64- i4xs-|-35xl — 84x3 + 98x* — 98x4-49.

Ort trouve ' p (ar) = x3— 7x 4- 7-

Les fonctions <p (x), tp' (2) n’ayant pas de commun diviseur, on a f(x) — X,Xt‘, <p(x) = X,, = x3 — 7x4-7,

■&) = XlX1 = x3-6r34-7x*-.7-+7 = Q.-

La division de Q, par p (x) donne le quotient X, = x* -f- 1. L’équation X, = o donne les racines inégales 4* V — 1 , — l/ — 1 , de f{x) = o.

L’équation Xa= o, fournit les racines qui entrent deux fois dans /'(x) = o; on a vu (page )• que ces racines sont 2,356 etc. , 1,692 etc. , — 3, 048 etc.

On a f(x)=X,X,2 = (x* 4- 1) (x3 — 7x4-7)*.

278. Les théories que nous venons d’exposer conduisent à cette règle générale : Pour trouver tes racines réelles d’une équation numérique à une seule inconnue x, ramenez d’abord cette équation à la forme

. (1) . . . xm 4- pxm~' 4- yxm s 4- . . . 4~ «x 4- t = o,

les coefficiens /?,<7.,...,s, f, désignant des nombres entiers (n° 254). Les racines comntensurables de f équation (1) seront des nombres entiers a, bj c,..., (n° 254)/ calculez ces racines par la

méthode 9 lu n° 256 , et déterminez ensuite les. exposons * j C, y • . j " j des facteurs x — o, x — b , x — c,. . x — >t, correspondons ( n° 258 ) / divisez le premier membre de l’équation (1), par le produit des facteurs (x — a)*, (x — b'f , (x — (x — £)"/ le quotient égalé à zéro donnera une

équation (2)'. .’.x" 4-Px"-1 Qx"> -f-- • -4~ Mx -f- N = o,

qui n’aura plus de racines commensurables.