CHAPITRE VII

Pour obtenir les racines 'de f équation (a) j décompose » cette équation en d’autres équations ,

(3)...X,=o, Xa = o{ X3 = 0, etc.,

qui ne renferment que des racines inégales (n° 277)/ ces racines seront celles de l’équation (2) y vous connaîtrez leur degré de multiplicité, car X, = o donne toutes les racines qui entrent une seule fois dans (2)y X* = o détermine toutes les racines qui entrent deux /ois dans (2)y et ainsi de suite. La question sera donc réduite à résoudre des équations X, =0, X„ = o, etc. , qui n’out que des racines inégales y la méthode du n° 270. , conduira aux valeurs approchées des racines réelles des équations (3) y ces racines seront les raoiries réelles incommensuralr/es de l'équation (1). Le premier membre de l’équation (1) sera le produit des fadeurs (x — àf, (x — b)C, (x — c .^(x — £)“, X, j X,% X33., etc.

Exemple. Soit l’équation

On chassera d’abord les dénominateurs; ce qui donnera (5) . . . 32 y5 — .3ay ' — ,48^ -j- 84r* — 4 + 7 =

On pourrait ramener cette dernière à la forme (1), en faisant y = ^ (n° 254); mais il est plus simple d’observer que l’équation (5) revenant à

(2j0 • — 2 (2y)4 — 6 (2x)3 + 2 1 (2yY— 2 1 ty) + 7 = 0 » •

il suffit de supposer 2y = x, d’où

(6) . . . x5 — zx4 — 6x3-f- 21X1 — 2ix+ 7^=0 œ/(r).

La seule racine commensurable de l’équation (6) est -f- 1 .

Pour déterminer le degré de multiplicité de cette racine, on calcule les dérivées de / (x) ; on trouve

f'(x) = 5x* — 8^ — »8x* + 4ax— 2!, y"(x) = 2oxs — 24 x“ — 36x +42, etc.

4,3a ALGÈBRE.

L’hypotfcfese x — i, donnant f (x) = o, /'(x) — 4- a, le facteur x — i entre deux fois dansy(x). Divisant f (x) par (r — i)% le quotient égalé à zéro conduit à une équation

qui n’a plus de racines commensurables ; ]e polynôme

x3 ’jx -f- 7 , n’ayant pas de commun diviseur avec sa dérivée

3xa — 7, toutes les racines de l’équation (7) sont inégales; on a vu (page 42.3) que les râleurs de ces racines sont

x ,356 etc., 1,69a etc. , — 3, 048 etc.

Or y= j x. Par conséquent, l’équation (4) a deux racines égales a + j.et trois racines incommensurables inégales

-f- 0,678 etc. , -+• 0,846 etp. , — 1,524 etc.

279. Il résulté de ce qui précède, que pour être en état de calculer avec certitude des valeurs aussi approchées qu’on veut de toutes les racines incommensurables d’une équation numérique à une seule inconnue , il suffit de connaître une quantité S' moindre que la différence entre deux racines quelconques d’une équation f (x) = o , qui ne renferme que des racines inégales. Or, la quantité Userait facile à déterminer si l’on savait former l’équation ip ( y ) = o, dont les racines sont les différences entre les racines de l’équàtion /(x)=»o; car la limite inférieure des racines da l’équation- p (y) = 0, exprimerait Il reste donc à faire -voir comment on calcule X équation aux différences <p(y) = o- Ce calcul exigeant que l’on sache éliminer une inconnue entre deux équations numériques d’un degré quelconque , nous sommes conduits à exposer la Théorie de l’élimination. Nous en déduirons le moyen de calculer f sans résoudre aucune équation; et nous aurons ainsi complété tout ce qui est relatif à la résolution des équations numériques à une

seule inconnue.

Nous aurions pu exposer la théorie de l’élimination entre deux équations à deux inconnues, avant la résolution des équations numériques à une, seule inconnue, ce qui aurait servi à

déterminer é (n° 279); mais l’ordre que nous avons suivi nous