CHAPITRE VIL

a paru plus natarel, et il offre d’ailleurs l'avantage de graduer les difficultés.

§ VI. Théorie de l’élimination. Résolution de deux équations numériques à deux inconnues.

280. Lorsqu’on veut résoudre deux équations entre deux inconnues Xj y j ou cherche les divers systèmes de valeurs de x et y qui rendent les équations identiques; chacun de ces systèmes fournit une solution des équations proposées ; et selon que des valeurs substituées pour x et y, satisfont ou ne satisfont pas à la fois aux deux équations proposées, on dit que ces valeurs sont bonnes ou qu’elles sont étrangères.

Nous supposerons que les équations ne renferment que des puissances entières positives des inconnues , et que tous les coefliciens sont des nombres entiers.

281. Quand F une des deux équations proposées ne renferme que F une des inconnues I, y, on obtient toutes les solutions de ces équations en résolvant des équations à une seule inconnue. En effet; soit le système

La première équation déterminera les valeurs de y, et chacune de ces valeurs, substituée dans la seconde équation, donnera une équation qui ne contiendra plus que la seule inconnue x et qui fournira par conséquent les valeurs correspondantes de cette inconnue.

282. Lorsque j les deux inconnues entrant à la fois dans chacune des équations proposées , une de ces équations est du premier ou du second degré par rapport à F une des inconnues , on peut ramener ce cas au précédent. En effet :

i°. Soient deux équations

px — q — O, f(pc,y) = 0,

dans lesquelles p et q désignent des fonctions entières quelconques de y. La î1* équation donne x = - , et la substitution de

cette valeur de x dan» f (x, y~) = o, fournit l’équation à une

seule inconnue , y ^ = o, qui détermine les valeurs dey';

les valeurs correspondantes de x se déduisent de l’équation px — q = o.

Exemple. Soient x — 2 y=o, x% — ary -f- (y* — y) = o.

■ La ir* équation donne x = 2 y; la substitution de cette expression de x dans la 2* équation , conduit à l’équation y' — y= o, qui donne y = 0 et y = 1 ; les valeurs correspondantes de x, déduites de la relation x = 2y, sont x=o et x = 2.

Les bonnes valeurs de x étant o et 2, l’équation qui les détermine est (x — o) (x — 2) = o, ou x* — ax = o.

Et en effet , si pour éliminer y on tire de x — 2 y = o, la

valeur j x de y, et si l’on remplace y par 5 x dans

x* — 2xy -f- (y* — y) = o, on parviendra à x4— 2x=o.

2°. Soient les deux équations

/>x*+qx + r=:o, /(x, ^) = o,

dans lesquelles p , q , r, sont des fonctions entières quelconques de y\ la première équation donne

x __ ~ 1 + Vq% — fa x=—q — y/9'—\Pr

ip ' 2 p

Si pour éliminer x, on substitue la première valeur de x dansy(x, y) = o , et si l’on développe les puissances indiquées , on parviendra à un résultat de la forme

(i)...P + QWV — 4pr = o,

dans lequel P et Q seront des fonctions entières et rationnelles

de y, car m désignant un nombre entier quelconque, on a

( 1 /*ym+' — ( v/«)am V~» — *m V«-

L’équation (1) fournira de» valeurs de y, qui conviendront nécessairement aux équations proposées.

Pour trouver l’équation qui donne les autres valeurs de y , il suffit de substituer la seconde valeur de x dans f(x , yj o; le résultat de cette substitution est évidemment

car la seconde valeur de x ne différant de la première que par le signe du radical, il suffit de changer le signe de ce radical dans la relation (1).

Toutes les valeurs de y qui conviennent aux équations proposées étant déterminées par les équations ( 1 ) et (2) , l’ensemble de ces valeurs dépend de l’équation

(p + QVV— 4 \Pr) (p — Q V q1— \pr)= o;

car pour que le produit de deux facteurs entiers devienne nul , il faut et il suffit que l’un de ses facteurs soit xéro (n° 228).

La dernière équation revient à

P» — Q* (ÿa — 4p0 = o.

Telle est l’équation en y qui résulte de l’élimination de x entre les équations proposées.

Remarque. On parvient au même résultat en faisant disparaître le radical dans L’uue quelconque des équations (1) et (2) ; car elles donnent

p= — q vV — 4 pr> p=+Qv/?* — 4 pri

et en élevant les deux membres au quarré , afin de faire disparaître le radical, chaque équation conduit à

P’ — Q“ (ÿ* — - 4/"0 , d’où P* — — 4or) = o. *

Exemple. Soient les deux équations

( 3) . . . x* — 2jf* + y% — y = o ,

(4). . . x3 — 3yx‘ + (3 y‘ — y + 0 x — y3 + y* — zy= a

La première donne x = y ±. $/ y.

ALGEBRE.

Substituant la valeur y \/ y de x dans (4) , on trouve

toutes réductions faites y — l/y = o.

L’autre valeur y — l /y de x substituée dans (4) conduirait à y -f- 1/ r = o.

L’équation qui détermine toutes les bonnes valeurs de y est donc

(y + Vy)<j—Vÿ) = °, ou y'—y = °-

On parvient directement à cette équation, en faisant dispa- . raître le radical dans l’une quelconque des équations

y+Vy = °* y—V y = °>

car elles reviennent à y= — l /y, y — - 4- V y > et en élevant au qüarré les deux membres de ces nouvelles équations , on trouve y* = y , d’où y * — y = o.

L’équation ya — y — o, donne^ = o et y— i.

Pour obtenir la valeur de x correspondante à y = o, on fait y= o dans (3) et (4) , ce qui donne x* = o et x3 -f- x = o.

Le plus grand commun diviseur entre x* et x3-!- x étant x, la valeur de x correspondante a y = o est x = o (n° 274).

De même, pour trouver la valeur de x correspondante à ^ = 1, on fait y = 1 , dans (3) et (4) ce qui donne

xa — 21 = 0, x3 — 3x“-f-3x — 2 = 0.

Le plus grand commun diviseur entre les premiers membres de ces deux dernières équations étant x — 2, on obtient la valeur de x demandée , en posant x — 2 = 0; d’où x= 2.

Les valeurs de x qui satisfont aux équations proposées étant zéro et 2 , l’équation qui résulterait de l’élimination de y entre ces équations est (x — o) (x — 2) — o , oui1 — 2x su o.

283. Nous venons de voir que \ élimination de l’une des inconnues est facile à effectuer , lorsqu’on sait tirer d’une des équations proposées la valeur de cette inconnue en fonction de l’autre inconnue. fylais comme cela n’est praticable que dausdes cas très particuliers, et comme ce procédé a d’ailkurs l’incon-