CHAPITRE VIT

■vénient d’introduire des radicaux , nous allons donner une mé-

0 tliode générale , qui n’exige pas qu’on sache tirer d’une des

équations la valeur de l’une des inconnues en fonction de l’autre.

* Soient les deux équations (i)...F (x, y) — o,f{x,y) — o.

Nous rappellerons d’abord que si x =*, y=z.G , est une so-

'S lution des équations (1) , la substitution de ces valeurs de .r et y

dans les premiers membres F {x , y) , f(x,y) de ces équations, donnera des résultats F (*, G) , f(u, 5) , qui devront être identiquement nuis; et que réciproquement, si en faisant x = «, y = G dans les premiers membres des équations (1), les résultats F (<*, G) , f (« , G) , se réduisent à zéro, le système x — a, y = C, sera une solution des équations (1).

Cela posé : soit a: — a, y=G , une solution des équations ( 1 ). Si au lieu de substituer simultanément les valeurs a , G, de x, y , on ne met d’abord que la valeur G de y, F (x, y) et f(x, y) deviendront F (r, G) et f(x,G)\ l’hypotbèsc .r= « devant réduire F (a:, G) et f(x, £) à zéro, chacune de ces fonctions de x est divisible par x — a. ; elles ont donc un plus grand commun diviseur (a:), qui contient le facteur x — œ.

; Toute valeur G de y, qui satisfait aux équations (i), jouit

donc de la propriété quand on la substitue dans F (l, y) et /(r, y) j de conduire à des résultats F (Xj G)jf(Xj G), qui ont un commun diviseur p (a:).

Réciproquement. Lorsqu’ en faisant y — G dans F (x, y) et f y) j les résultats F (x. G), f (x, C) ont un plus grand com-

mun diviseur ç (x), la valeur G dey convient aux équations (i).

En effet; si l’on divise F (r,C) et f(x, £) par <p (x), les quotiens M , N, ne renfermeront que des puissances entières positives de x ; on aura

F (x , £) = ip (x) X M , /(x,f) = f(r)XK.

Toute valeur finie » de x, qui réduira p (.r) à zéro, donnera F(«, G) = o, f{a, G) =0 ; car <p (a) = o , et aucun des polynômes eutiers M, N, ne peut devenir infini. Par conséquent, y = C, xs=a, sera une solution des équations (1); et l’équa-

ALGEBRE.

tion p (x)= o, déterminera toutes les valeurs de x qui correspondent ky=C.

284. On en déduit cette règle générale : Pour découvrir si une valeur G de y convient aux équations

(1)... Y{xJy)xz.oJ f(x,y) — o, il suffit de faire y = ff, dans les premiers membres.

Quand les résultats F(x., (x., ff)., ont un plus grand com-

mun diviseur tp (x)., la valeur C dey convient aux équations proposées ; et l’équation à une seule inconnue 9 (x) =0, fournit toutes les bonnes valeurs de x correspondantes à y — G.

Lorsqu’ en faisant y — G dans F (ij y) et f (Xj y)^ les résultats F (Xj G) j f (Xj G) j n’ont pas de commun diviseur en x , la valeur G de y ne convient pas aux équations proposées j et l’on dit qu’elle est Étrangère.

Il faut bien remarquer que cette manière de vérifier si une valeur de y convient aux équations (1) proposées , exige que l’on connaisse la valeur exacte de y.

285. Nous venons de voir que si y était connu, il serait facile d’en déduire les équations qui déterminent les valeurs de x correspondantes; mais les valeurs de y qui sont propres à satisfaire aux équations proposées F (x , y) z= o, f (x, y) o, ne sont jamais données d’avance.

Pour découvrir ces bonnes valeurs de y , on observe qu’elles doivent jouir de la propriété, si on les substituait dans les premiers membres de ces équations , d’introduire un commun diviseur en x entre les fonctions de x qui en résulteraient. Opérons donc comme si y étant connu , il s’agissait de trouver les valeurs de x correspondantes. A cet effet , on cherche le plus grand commun diviseur entre les polynômes F (x, y), f(x, y) ; et comme on veut parvenir au reste indépendant de x, il faut ordonner ces polynômes par rapport aux puissances décroissantes de x , en ayant soin de ne supprimer aucun facteur fonction de J". Lorsqu’on sera parvenu au reste R indépendant dex, les bonnes valeurs de y devront le réduire à zéro; et réciproquement , les valeurs de y qui réduiront ce reste à zéro conviendront aux équations proposées, puisque substituées dans les

premiers membres de ces équations, elfes introduiront un commun diviseur en x entre les fonctions de x qui en résulteront ; l’cquation qui détermine toutes les bonnes valeurs de y est donc R = o.

Nous supposons ici que toute valeur G de y , propre à introduire un commun diviseur fonction de x entre F (x , G) et f (x, G) , réduit le reste R à zéro; et que réciproquement toute valeur G de^ qui réduit lç reste R à zéro , introduit un commun diviseur fonction dex entre F (x, G) et f(x, G).

Quand ces deux conditions ont lieu, l’équation R = o détermine toutes les bonnes valeurs de y , et elle n’en dorme pas d’autres. On dit par cette double raison que R = o est l 'équation finale en y qui résulte de Yèlimination de x entre les équations proposées.

286. Nous allons faire voir que les deux conditions précédentes ont toujours lieu, quand dans la recherche du plus grand commun diviseur entre F(x, y) et f(x, y), on parvient au reste R indépendant de x sans qu’il soit nécessaire, pour n’obtenir que des termes entiers dans les quotiens, de multiplier les dividendes par des fonctions de y , en ayant d’ailleurs le soin de ne supprimer dans les restes aucun facteur fonction de y.

Désignons par A et B les premiers membres des équations proposées F(x, y) = o,.f(x,y) = o.

Lorsque le plus fort exposant de x dans A n’est pas moindre que dans B , la recherche du plus grand commutf diviseur de A et B conduit à diviser A par B; ce qui fournit un quotient entier Q' et un reste R’ ■ moindre que le diviseur B (*).

On a l’identité A = BQ’ R’.

Elle démontre que toutes les valeurs de x et y qui réduisent A et B à zéro, rendent R' nul; et que toutes les valeurs de x et y qui réduisent B et R' à zéro, rendent A nul ; car d’apres l’hy-

(*) Lorsque nous dirons qu’un reste est moindre que Lp diviseur, nous entendrons que le dividende et le diviseur étant ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d’une lettre x, le plijs fort exposant de celte lettre est moindre dans le reste que dans le diviseur (n° 26, page 3i).

ÉJ*

ALGEBRE.

pothèse actuelle, le quotient Q' ne contenant que des puissances entières positives de x et de y , ilne peut devenir infini pour des valeurs finies de ces inconnues.

Les solutions des équations proposées

sont donc les mêmes que celles des équations (2) . . . B =• o , R' = o .

La question est ainsi réduite à résoudre le système des équations (2) qui est plus simple par rapport à x , que le système (1).

Divisant B par R', on obtient un quotient entier Q", et un reste R" moindre que R'. On a l’identité B = R'Q" -j- R*.

Elle démontre que les solutions des équations (2) sont les mêmes que celles des équations

Le système (3) est plus simple, par rapport à x, que le système (2), car les plus forts ezposans de x dans (3) sont respectivement moindres que dans (2).

Les valeurs des inconnues qui réduisent deux restes consécutifs à zéro, sont donc les mêmes que celles qui satisfont aux équations (1) proposées.

Continuant ces calculs , on parviendra toujours à un reste R indépendant de x ; car les exposans de x sont des nombres entiers positifs qui diminuent dans les restes successifs. Si R, désigne le reste précédent ,• les solutions des équations proposées seront les mêmes que celles des équations (4)— R = o , R , = o ; de sorte que la résolution des équations (1). . . A = o, B=o, qui contenaient chacune les deux inconnues x, y, ne dépend plus que du système équivalent (4). . . R = o, R, = o, dans lequel R ne renferme que la seule inconnue y.

L’ équation finale en y , qui résulte de l’élimination de x entre les équations (1), est donc R=o.

L’équation R=o, fournira les bonnes valeurs àe y, et en les substituant dans R, = o, l’équation en x qui en résultera déterminera les bonnes valeurs de x correspondantes.