CHAPITRE VII

Exemple. Soient les deux équations

A=x3 — 3yx* + (3y — y+i)x— (y3 — y1 + 2y) = 0 >

B —x% — lyx -+- (y‘ — y)=o. \

La division de A par B fournit le quotient entier x — y , et le reste R' = x — iy.

On divise B par R', ce qui donne le quotient x et le reste

Les solutions des équations proposées sont donc les mêmes que celles des équations

x — iy = o , y' — y— o.

U équation finale en y est y* — y — o, ou y (y — i) = o.

On en tire v = o et y = 1 ; les valeurs correspondantes de x, déduites de x — 2 y=o, sont x = o et x—2. Ce qui s’accorde avec les résultats qui ont été obtenus (page 436).

Remarque. Il est facile de reconnaître si les équations proposées admettent une valeur nulle de l’une des inconnues.

Par exemple, pour savoir si y—o , est une bonne valeur de y, on fait y=o, dans A et B; quand les résultats, X, X,, ont un plus grand commun diviseur D, fonction de x, la valeur y==o convient aux équations (i) ... A = o , B=o, car combinée avec une valeur quelconque de x tirée de D = o, elle fournit une solution des équations (1).

Lorsque les résultats X , X, , n’ont pas de plus grand commun diviseur en x, une même valeur de x ne peut pas les réduire à zéro, et par conséquent la valeur y=o rie convient pas aux équations (1).

On vérifiera d’une manière analogue si x = o , convient aux équations (1).

Nçus venons. de voir que le système (

peut être remplacé par le suivant

et que toute solution de l’un de ces systèmes convient à l’autre.

Nous allons examiner quelques cas particuliers qui peuvent se présenter.

i°. Lorsqu’une valeur C de y, tirée de R= o , réduit tous les termes de R, à zéro, on est certain qu’elle rendra nuis tous les restes précédens, ainsi que A et B, (page 44°)'

Par conséquent, y — Q satisfait aux équations (i), quelle que soit d’ailleurs la valeur qu’on donne à x , et les restes R , R, ont un facteur commun y — G.

Pour découvrir toutes les solutions des équations

on Ordonne R, par rapport à x;on cherche le plus grand commun diviseur T, fonction de y, entre R et les coefiiciens des diverses puissances de x dans R,, on divise R, et R par T, les quotiens sont des polynômes entiers r, , r, et le système (2) revient à

(3) ... rY = o, r,Y = o.

L’équation Y= o, donne des valeurs de y qui satisfont aux équations (3) , quel que soit x.

Toutes les autres solutions des équations (3) dépendent du système

L’équation r=o fournit des valeurs de y, et ces valeurs substituées dans r, = o donnent une équation en x qui détermine les valeurs de x correspondantes.

Exemple. Soient les équations

A=s.(y-a) i* + (y — s) ï -.(y3 - î/+Sy - 6) i= o,

La division de A par B fournit le quotient entier x — y et le reste R =y* — 5y -f- 6.

Les solutions du système proposé sont les mêmes que celles du système B = o, R = o. Considérons ce dernier système. équation finale y* — 5y'-f-6=o donne y— 3 et ,y = 2.

La valeur -f-3 de y substituée dans B=o, donne x— — 4* Ce qui fournit une première solution y = 3 , x — — 4 , des équations proposées.