CHAPITRE VII

La valeur -f- 2 de y donnant B=o, et par suite A = o, on satisfait aux équations proposées en combinant cette valeur dey avec des valeurs quelconques de x.

Pour découvrir si le système B = o , R = o , admet d’autres solutions, on cherche le plus grand commun diviseur Y entre R et les coefliciensy — s, y* — y — 2, de x dans B; on trouve Y =y — 2. On divise B et R par y — 2, ce qui donne des quotiens x-f-y+i, y — 3; les équations B=o, R=o, reviennent à /

On satisfait à ce dernier système en faisant y — 2 = o, d’où y= 2; on peut combiner cette valeur de y avec des valeurs arbitraires de x.

Les autres solutions des équations proposées sont fournies par le système x-J-y-f- 1=0, y — 3 — o ; il donne y = 3, x— — 4-

20. Quand on parvient à un reste identiquement nul , les premiers membres A, B, des équations proposées, ont un plus grand commun diviseur D qui contient nécessairement x. On a

A=DxP, B=D X Q.

L’équation D = o détermine une infinité de solutions des équations (1) ; les autres solutions se déduisent du système P=o, Qs=o. .

Si D est fonction de la seule inconnue x, les valeurs de cette inconnue tirées de D = o, satisferont aux équations proposées, quelles que soient les valeurs arbitraires que l’on donne à y.

Si D est fonction de x et de y, chaque valeur de l’une des inconnues x,y, fournira des valeurs correspondantes de l’autre inconnue.

3°. Quand le reste R indépendant de x est un nombre N, les équations proposées À=o , B=o, sont incompatibles; car en désignant toujours par R, le reste qui précède R, les solutions de ces équations sont les mêmes que celles des équations Ri=o, N = o, et cette dernière est absurde.

Pour concevoir comment les deux équations A = o, B=o, peuvent être incompatibles , quoiqu’elles admettent séparément

une infinité de solutions, il suffit d’observer que lorsque la recherche du plus grand commun diviseur des premiers membres A, B, conduit à un reste numérique N, la substitution d’une valeur quelconque de y dans A et B .donne deux fonctions de x qui ne sauraient jamais etre réduites à zéro par une même valeur de xf puisqu’on cherchant le plus grand commun diviseur de ces fonctions de x , on parviendra toujours au même reste numérique N.

Les raisonnemens et les calculs précédens s’appliquent encore au cas ou il suffit de multiplier les dividendes successifs par des nombres, pour rendre le premier terme de chaque dividende partiel exactement divisible par le premier terme du diviseur. En effet, soient C, C',C", etc. , les nombres par lesquels on doit multiplier les dividendes successifs, A, B, R', etc. , pour rendre les divisions possibles, on aura les identités

CA = BQ' + R' , C'B = R'Q" + R”, etc. ,

et ces identités font voir que les valeurs de x, y, qui réduisaient A et B à zéro , sont encore les mêmes que celles qui réduisent deux restes consecutifs quelconques à zéro.

Par la même raison, les valeurs de x et y qui réduisent un polynôme fonction dex et y à zéro, ne changeant pas lorsqu’on multiplie ou qu’on divise ce polynôme par un nombre, on simplifie les calculs en supprimant dans chaque reste le plus grand commun diviseur numérique qui peut se trouver entre les termes de ce reste.

287. Nous avons supposé dans la théorie de l’élimination que nous venons d’exposer, que tous les termes des quotiens étaient entiers par rapport à y (*) ; mais cela n’arrive qufe très 1 arement. Cependant, pour que fon soit certain que les valeurs de x et y j qui réduisent deu? restes consécutifs quelconques à zéro j sont les mêmes que celles qui satisfont aux équations pro-

C) Les quotiens sont toujours entiers par rapport 4 x; car on arrcHc chaque division, lorsqu’on parvient 4 un reste qui conlieut x 4 un dcgrc moindre que le diviseur.